Страница 122 номер 10.27, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\)
\(AA_1 \perp \alpha\), \(BB_1 \perp \alpha\)
\(A_1 \in \alpha\), \(B_1 \in \alpha\)
\(AA_1 = 2\) см
\(BB_1 = 12\) см
\(AB_1 = 10\) см

Найти: \(AB\).

Решение: Прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\) и различны: иначе точки \(A_1\) и \(B_1\) совпали бы и было бы \(AB_1 = AA_1 = 2\) см, а по условию \(AB_1 = 10\) см. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\). Параллельные прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) лежат в одной плоскости, и она пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(A_1B_1\). Отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), а значит, и прямую \(A_1B_1\), поэтому точки \(A\) и \(B\) лежат по одну сторону от прямой \(A_1B_1\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AA_1 \perp A_1B_1\) и \(BB_1 \perp A_1B_1\). Следовательно, \(AA_1B_1B\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(BB_1\).

В прямоугольном треугольнике \(AA_1B_1\) (\(\angle A_1 = 90^\circ\)) по теореме Пифагора \[A_1B_1 = \sqrt{AB_1^2 - AA_1^2} = \sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \text{ (см)}.\]

Проведём отрезок \(AK\), перпендикулярный прямой \(BB_1\) (\(K\) лежит на прямой \(BB_1\)). Четырёхугольник \(AA_1B_1K\) — прямоугольник, поэтому \(AK = A_1B_1 = 4\sqrt{6}\) см и \(B_1K = AA_1 = 2\) см. Точка \(K\) лежит на луче \(B_1B\) и \(B_1K < B_1B\), поэтому \(K\) лежит на отрезке \(BB_1\) и \(BK = BB_1 - B_1K = 12 - 2 = 10\) (см).

В прямоугольном треугольнике \(AKB\) по теореме Пифагора \[\begin{aligned} &AB = \sqrt{AK^2 + BK^2} = \sqrt{(4\sqrt{6})^2 + 10^2} = {} \\ &= \sqrt{96 + 100} = \sqrt{196} = 14 \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Ответ: 14 см.