Страница 122 номер 10.28, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), \(C \in AB\)
\(AA_1 \perp \alpha\), \(BB_1 \perp \alpha\), \(CC_1 \perp \alpha\); \(A_1, B_1, C_1 \in \alpha\)
\(AA_1 = 15\) см
\(BB_1 = 25\) см
\(AC : BC = 1 : 4\)

Найти: \(CC_1\).

Решение:

Пусть прямая \(AB\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Тогда прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) попарно различны: если бы две из них совпали, эта прямая проходила бы через две точки прямой \(AB\), то есть совпала бы с \(AB\), и прямая \(AB\) была бы перпендикулярна плоскости \(\alpha\), а это не так. Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\) и \(CC_1 \parallel AA_1\).

Через параллельные прямые \(AA_1\) и \(BB_1\) проходит плоскость; в ней лежит и прямая \(AB\). В этой плоскости через точку \(C\) проходит прямая, параллельная \(AA_1\), а через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямая \(CC_1\) лежит в той же плоскости, а точка \(C_1\) — на прямой \(A_1B_1\), по которой эта плоскость пересекает плоскость \(\alpha\).

Отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому точки \(A\) и \(B\) лежат по одну сторону от неё, а значит, и по одну сторону от прямой \(A_1B_1\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AA_1 \perp A_1B_1\), \(BB_1 \perp A_1B_1\) и \(CC_1 \perp A_1B_1\). Поскольку \(AA_1 \ne BB_1\), четырёхугольник \(AA_1B_1B\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(BB_1\).

Проведём в плоскости трапеции через точку \(A\) прямую, параллельную \(A_1B_1\); она пересекает прямые \(CC_1\) и \(BB_1\) в точках \(K\) и \(L\).

Четырёхугольники \(AKC_1A_1\) и \(ALB_1A_1\) — прямоугольники, поэтому \(KC_1 = LB_1 = AA_1 = 15\) см. Точки \(L\) и \(B\) лежат по одну сторону от прямой \(A_1B_1\) (как и точка \(A\)) и \(LB_1 < BB_1\), поэтому точка \(L\) лежит на отрезке \(BB_1\) и \(BL = BB_1 - LB_1 = 25 - 15 = 10\) (см). Значит, точки \(B\) и \(B_1\) лежат по разные стороны от прямой \(AL\); точка \(C\) отрезка \(AB\) лежит по ту же сторону от неё, что и \(B\), а точка \(C_1\) прямой \(A_1B_1\), параллельной \(AL\), — по ту же сторону, что и \(B_1\). Поэтому точка \(K\) лежит на отрезке \(CC_1\).

Так как \(AC : BC = 1 : 4\), то \(AC = \frac{1}{5}AB\). Поскольку \(CK \parallel BL\), треугольники \(ACK\) и \(ABL\) подобны и \(\frac{CK}{BL} = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5}\), откуда \(CK = \frac{10}{5} = 2\) (см). Следовательно, \(CC_1 = CK + KC_1 = 2 + 15 = 17\) (см).

Если же прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) совпадают с ней (через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости), а точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — с точкой пересечения прямой \(AB\) и плоскости \(\alpha\). Точки \(A\), \(C\), \(B\) лежат на одном луче с началом \(A_1\), поэтому \(AB = BB_1 - AA_1 = 10\) см, \(AC = \frac{1}{5}AB = 2\) см и \(CC_1 = AA_1 + AC = 17\) см.

Ответ: 17 см.