Страница 122 номер 10.29, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
отрезок \(MN\) не пересекает плоскость \(\alpha\), \(K \in MN\)
\(MM_1 \perp \alpha\), \(NN_1 \perp \alpha\), \(KK_1 \perp \alpha\); \(M_1, N_1, K_1 \in \alpha\)
\(MM_1 = 14\) см
\(KK_1 = 10\) см
\(MK : KN = 3 : 5\)

Найти: \(NN_1\).

Решение:

Пусть прямая \(MN\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Тогда прямые \(MM_1\), \(NN_1\) и \(KK_1\) попарно различны: если бы две из них совпали, эта прямая проходила бы через две точки прямой \(MN\), то есть совпала бы с \(MN\), и прямая \(MN\) была бы перпендикулярна плоскости \(\alpha\), а это не так. Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, поэтому \(MM_1 \parallel NN_1\) и \(KK_1 \parallel MM_1\).

Через параллельные прямые \(MM_1\) и \(NN_1\) проходит плоскость; в ней лежит и прямая \(MN\). В этой плоскости через точку \(K\) проходит прямая, параллельная \(MM_1\), а через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямая \(KK_1\) лежит в той же плоскости, а точка \(K_1\) — на прямой \(M_1N_1\), по которой эта плоскость пересекает плоскость \(\alpha\).

Отрезок \(MN\) не пересекает плоскость \(\alpha\), поэтому точки \(M\), \(K\) и \(N\) лежат по одну сторону от неё, а значит, и по одну сторону от прямой \(M_1N_1\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(MM_1 \perp M_1N_1\), \(NN_1 \perp M_1N_1\) и \(KK_1 \perp M_1N_1\).

Проведём в плоскости прямых \(MM_1\) и \(NN_1\) через точку \(K\) прямую, параллельную \(M_1N_1\); она пересекает прямые \(MM_1\) и \(NN_1\) в точках \(P\) и \(Q\).

Четырёхугольники \(PKK_1M_1\) и \(KQN_1K_1\) — прямоугольники, поэтому \(PM_1 = QN_1 = KK_1 = 10\) см. Точки \(P\) и \(M\) лежат на луче \(M_1M\) (по ту же сторону от прямой \(M_1N_1\), что и \(K\)), и \(PM_1 < MM_1\), поэтому \(MP = MM_1 - PM_1 = 14 - 10 = 4\) (см).

В прямоугольных треугольниках \(MPK\) и \(NQK\) углы при вершине \(K\) равны как вертикальные, поэтому эти треугольники подобны и \(\frac{NQ}{MP} = \frac{KN}{KM} = \frac{5}{3}\), откуда \(NQ = \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3}\) (см).

Точки \(M\) и \(N\) лежат по разные стороны от прямой \(PQ\), так как точка \(K\) этой прямой лежит между ними; точки \(M\) и \(M_1\) — тоже по разные стороны от неё, так как между ними лежит точка \(P\). Значит, точка \(N\) лежит по ту же сторону от прямой \(PQ\), что и \(M_1\), а с ней и \(N_1\) (\(M_1N_1 \parallel PQ\)), то есть на луче \(QN_1\). Так как \(NQ < QN_1\), то \(NN_1 = QN_1 - NQ = 10 - \frac{20}{3} = \frac{10}{3}\) (см).

Если же прямая \(MN\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то прямые \(MM_1\), \(NN_1\) и \(KK_1\) совпадают с ней (через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости), а точки \(M_1\), \(N_1\), \(K_1\) — с точкой пересечения прямой \(MN\) и плоскости \(\alpha\). Точки \(M\), \(K\), \(N\) лежат на одном луче с началом \(M_1\), поэтому \(MK = MM_1 - KK_1 = 4\) см, \(KN = \frac{5}{3}MK = \frac{20}{3}\) см и \(NN_1 = KK_1 - KN = 10 - \frac{20}{3} = \frac{10}{3}\) см.

Ответ: \(3\frac{1}{3}\) см.