Страница 122 номер 10.26, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\)
\(AC \perp \alpha\), \(BD \perp \alpha\)
\(C \in \alpha\), \(D \in \alpha\)
\(AC = 34\) см
\(BD = 18\) см
\(AB = 20\) см

Найти: \(CD\).

Решение: Прямые \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\) и различны: иначе точки \(C\) и \(D\) совпали бы, точки \(A\) и \(B\) лежали бы на одном луче с началом \(C\) (отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\)), и тогда было бы \(AB = AC - BD = 16\) см, а по условию \(AB = 20\) см. Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, поэтому \(AC \parallel BD\). Параллельные прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в одной плоскости, и она пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(CD\). Отрезок \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), а значит, и прямую \(CD\), поэтому точки \(A\) и \(B\) лежат по одну сторону от прямой \(CD\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AC \perp CD\) и \(BD \perp CD\). Следовательно, \(ACDB\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(AC\) и \(BD\).

Проведём отрезок \(BK\), перпендикулярный прямой \(AC\) (\(K\) лежит на прямой \(AC\)). Четырёхугольник \(KCDB\) — прямоугольник, поэтому \(CK = BD = 18\) см и \(BK = CD\). Точка \(K\) лежит на луче \(CA\) и \(CK < CA\), поэтому \(K\) лежит на отрезке \(AC\) и \(AK = AC - CK = 34 - 18 = 16\) (см).

В прямоугольном треугольнике \(AKB\) по теореме Пифагора \[BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)}.\]

Значит, \(CD = BK = 12\) см.

Ответ: 12 см.