Страница 122 номер 10.30, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Параллелограмм \(ABCD\) не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\). Через вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) проведены прямые, перпендикулярные плоскости \(\alpha\) и пересекающие её в точках \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) соответственно. Найдите отрезок \(CC_1\), если \(AA_1 = 11\) см, \(BB_1 = 18\) см, \(DD_1 = 16\) см.
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм, не имеющий общих точек с плоскостью \(\alpha\)
\(AA_1 \perp \alpha\), \(BB_1 \perp \alpha\), \(CC_1 \perp \alpha\), \(DD_1 \perp \alpha\); \(A_1, B_1, C_1, D_1 \in \alpha\)
\(AA_1 = 11\) см
\(BB_1 = 18\) см
\(DD_1 = 16\) см
Найти: \(CC_1\).
Решение:
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) параллелограмма; она — середина каждой из них. Проведём через точку \(O\) прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\), и обозначим через \(O_1\) точку её пересечения с плоскостью \(\alpha\).
Параллелограмм не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), поэтому точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от неё (иначе отрезок \(AC\) пересекал бы плоскость \(\alpha\)).
Если прямая \(AC\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то прямые \(AA_1\), \(OO_1\) и \(CC_1\) совпадают с ней (через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости), точки \(A_1\), \(O_1\), \(C_1\) тоже совпадают, а точки \(A\), \(O\), \(C\) лежат на одном луче с началом \(A_1\). Для середины \(O\) отрезка \(AC\) тогда \(A_1O = \frac{A_1A + A_1C}{2}\), то есть \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\).
Если прямая \(AC\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то прямые \(AA_1\), \(OO_1\) и \(CC_1\) попарно различны: если бы две из них совпали, эта прямая проходила бы через две точки прямой \(AC\), то есть совпала бы с \(AC\), а прямая \(AC\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, поэтому эти три прямые параллельны. Через параллельные прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) проходит плоскость; в ней лежат прямая \(AC\) и точка \(O\), а через точку \(O\) проходит только одна прямая, параллельная \(AA_1\), поэтому прямая \(OO_1\) лежит в этой же плоскости и точка \(O_1\) — на прямой \(A_1C_1\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AA_1 \perp A_1C_1\) и \(CC_1 \perp A_1C_1\), а точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от прямой \(A_1C_1\). Параллельные прямые \(AA_1\), \(OO_1\) и \(CC_1\) отсекают на прямой \(AC\) равные отрезки \(AO\) и \(OC\), поэтому по теореме Фалеса \(O_1\) — середина отрезка \(A_1C_1\). Если \(AA_1 = CC_1\), то \(AA_1C_1C\) — прямоугольник и \(OO_1 = AA_1\); иначе \(AA_1C_1C\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(CC_1\), а \(OO_1\) — её средняя линия. В обоих случаях \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\).
Точно так же \(OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}\). Значит, \(AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1\), откуда \(CC_1 = BB_1 + DD_1 - AA_1 = 18 + 16 - 11 = 23\) (см).
Ответ: 23 см.
Параллелограмм \(ABCD\) не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\). Через вершины \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) проведены прямые, перпендикулярные плоскости \(\alpha\) и пересекающие её в точках \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(D_1\) соответственно. Найдите отрезок \(CC_1\), если \(AA_1 = 11\) см, \(BB_1 = 18\) см, \(DD_1 = 16\) см.
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм, не имеющий общих точек с плоскостью \(\alpha\)
\(AA_1 \perp \alpha\), \(BB_1 \perp \alpha\), \(CC_1 \perp \alpha\), \(DD_1 \perp \alpha\); \(A_1, B_1, C_1, D_1 \in \alpha\)
\(AA_1 = 11\) см
\(BB_1 = 18\) см
\(DD_1 = 16\) см
Найти: \(CC_1\).
Решение:
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) параллелограмма; она — середина каждой из них. Проведём через точку \(O\) прямую, перпендикулярную плоскости \(\alpha\), и обозначим через \(O_1\) точку её пересечения с плоскостью \(\alpha\).
Докажем, что \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\). Параллелограмм не имеет общих точек с плоскостью \(\alpha\), поэтому точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от неё (иначе отрезок \(AC\) пересекал бы плоскость \(\alpha\)).
Если прямая \(AC\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то прямые \(AA_1\), \(OO_1\) и \(CC_1\) совпадают с ней (через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости), точки \(A_1\), \(O_1\), \(C_1\) тоже совпадают, а точки \(A\), \(O\), \(C\) лежат на одном луче с началом \(A_1\). Для середины \(O\) отрезка \(AC\) тогда \(A_1O = \frac{A_1A + A_1C}{2}\), то есть \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\).
Если прямая \(AC\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\), то прямые \(AA_1\), \(OO_1\) и \(CC_1\) попарно различны: если бы две из них совпали, эта прямая проходила бы через две точки прямой \(AC\), то есть совпала бы с \(AC\), а прямая \(AC\) не перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, поэтому эти три прямые параллельны. Через параллельные прямые \(AA_1\) и \(CC_1\) проходит плоскость; в ней лежат прямая \(AC\) и точка \(O\), а через точку \(O\) проходит только одна прямая, параллельная \(AA_1\), поэтому прямая \(OO_1\) лежит в этой же плоскости и точка \(O_1\) — на прямой \(A_1C_1\). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AA_1 \perp A_1C_1\) и \(CC_1 \perp A_1C_1\), а точки \(A\) и \(C\) лежат по одну сторону от прямой \(A_1C_1\). Параллельные прямые \(AA_1\), \(OO_1\) и \(CC_1\) отсекают на прямой \(AC\) равные отрезки \(AO\) и \(OC\), поэтому по теореме Фалеса \(O_1\) — середина отрезка \(A_1C_1\). Если \(AA_1 = CC_1\), то \(AA_1C_1C\) — прямоугольник и \(OO_1 = AA_1\); иначе \(AA_1C_1C\) — прямоугольная трапеция с основаниями \(AA_1\) и \(CC_1\), а \(OO_1\) — её средняя линия. В обоих случаях \(OO_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}\).
Точно так же \(OO_1 = \frac{BB_1 + DD_1}{2}\). Значит, \(AA_1 + CC_1 = BB_1 + DD_1\), откуда \(CC_1 = BB_1 + DD_1 - AA_1 = 18 + 16 - 11 = 23\) (см).
Ответ: 23 см.
