Страница 122 номер 10.25, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Данная точка, расположенная вне плоскости правильного треугольника, равноудалена от его вершин. Докажите, что прямая, проходящая через данную точку и центр данного треугольника, перпендикулярна плоскости треугольника.
Пусть \(M\) — данная точка, \(O\) — центр правильного треугольника \(ABC\), \(MA = MB = MC\). Точка \(M\) не лежит в плоскости \(ABC\), а точка \(O\) лежит в ней, поэтому точки \(M\) и \(O\) различны.
Предположим, что прямая \(MO\) не перпендикулярна плоскости \(ABC\). Через точку \(M\) проведём прямую, перпендикулярную плоскости \(ABC\), и обозначим через \(O_1\) точку её пересечения с этой плоскостью. Точка \(O_1\) отлична от точки \(O\): иначе прямая \(MO\) была бы перпендикулярна плоскости \(ABC\).
Точка \(O_1\) не совпадает ни с одной из вершин треугольника: если, например, \(O_1 = A\), то \(MA \perp AB\), и в прямоугольном треугольнике \(MAB\) гипотенуза \(MB\) больше катета \(MA\), а по условию \(MB = MA\). Поскольку \(MO_1 \perp ABC\), то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(MO_1 \perp O_1A\), \(MO_1 \perp O_1B\) и \(MO_1 \perp O_1C\). Прямоугольные треугольники \(MO_1A\), \(MO_1B\) и \(MO_1C\) равны по гипотенузе и катету: \(MA = MB = MC\), катет \(MO_1\) — общий. Значит, \(O_1A = O_1B = O_1C\), то есть \(O_1\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). У правильного треугольника центр описанной окружности совпадает с его центром \(O\), поэтому \(O_1 = O\). Это противоречит тому, что точки \(O_1\) и \(O\) различны. Следовательно, прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
Ответ: прямая, проходящая через данную точку и центр треугольника, перпендикулярна плоскости треугольника.
