Страница 232 номер 859, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Докажите, что если члены последовательности \((b_n)\) отличны от нуля и при любом натуральном \(n > 1\) выполняется равенство \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\), то последовательность \((b_n)\) является геометрической прогрессией.
Члены последовательности отличны от нуля, поэтому равенство \(b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}\) можно записать следующим образом
\(\dfrac{b_{n}}{b_{n - 1}} = \dfrac{b_{n + 1}}{b_{n}} = q\)
Равенство выполняется при любом натуральном \(n > 1\), поэтому число \(q\) одно и то же при всех \(n\)
\(\dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{b_{3}}{b_{2}} = \dfrac{b_{4}}{b_{3}} = \ldots = q,\ q \neq 0\)
То есть каждое следующее число \(b_{n + 1}\) равно текущему \(b_{n}\), умноженному на число \(q\) – знаменатель. Это определение является определением геометрической прогрессии.
