Страница 232 номер 861, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3 и 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа.
Арифметическая прогрессия
\(a,a + d,a + 2d\)
Геометрическая прогрессия
\(a + 2,a + d + 3,a + 2d + 9\)
Составим систему уравнений и решим ее
\(\begin{cases} a + a + d + a + 2d = 21 \\ \frac{a + d + 3}{a + 2} = \frac{a + 2d + 9}{a + d + 3} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 3a + 3d = 21 \\ \frac{a + d + 3}{a + 2} = \frac{a + 2d + 9}{a + d + 3} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a + d = 7 \\ \frac{7 + 3}{a + 2} = \frac{7 + d + 9}{7 + 3} \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} a = 7 - d \\ 100 = (d + 16)(a + 2) \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} a = 7 - d \\ 100 = (d + 16)(7 - d + 2) \end{cases}\)
\(100 = (d + 16)(7 - d + 2)\)
\(100 = (d + 16)(9 - d)\)
\(100 = 9d + 144 - d^{2} - 16d\)
\(d^{2} + 7d - 44 = 0\)
\(D = 49 + 4 \cdot 44 = 49 + 176 = 225 = 15^{2}\)
\(d_{1} = \dfrac{- 7 - 15}{2} = - \dfrac{22}{2} = - 11 \Rightarrow \begin{cases} a_{1} = a = 7 - ( - 11) = 18 \\ a_{2} = a + d = 18 - 11 = 7 \\ a_{3} = a + 2d = 18 - 22 = - 4 \end{cases}\)
\(d_{2} = \dfrac{- 7 + 15}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 \Rightarrow \begin{cases} a_{1} = a = 7 - 4 = 3 \\ a_{2} = a + d = 3 + 4 = 7 \\ a_{3} = a + 2d = 3 + 8 = 11 \end{cases}\)
По условию числа положительны, таким образом искомые числа равны 3, 7, 11.
Ответ: 3, 7, 11.
