Страница 231 номер 850, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Является ли геометрической прогрессией последовательность: 1) \(2^{-n}, 2^{-2n}, 2^{-3n}, 2^{-4n}\); 2) \(2^n, 2^{n^2}, 2^{n^3}, 2^{n^4}\); 3) \(2^n, 2^{n+1}, 2^{n+2}, 2^{n+3}\)? В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.
\(q = \dfrac{b_{n}}{b_{n - 1}}\)
1) \(2^{- n},\ 2^{- 2n},\ 2^{- 3n},\ 2^{- 4n}\)
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{2^{- 2n}}{2^{- n}} = 2^{- 2n + n} = 2^{- n}\)
\(q = \dfrac{b_{3}}{b_{2}} = \dfrac{2^{- 3n}}{2^{- 2n}} = 2^{- 3n + 2n} = 2^{- n}\)
\(q = \dfrac{b_{4}}{b_{3}} = \dfrac{2^{- 4n}}{2^{- 3n}} = 2^{- 4n + 3n} = 2^{- n}\)
Последовательность – геометрическая прогрессия
2) \(2^{n},\ 2^{n^{2}},2^{n^{3}},2^{n^{4}}\)
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{2^{n^{2}}}{2^{n}} = 2^{n^{2} - n}\)
\(q = \dfrac{b_{3}}{b_{2}} = \dfrac{2^{n^{3}}}{2^{n^{2}}} = 2^{n^{3} - n^{2}} \neq 2^{n^{2} - n}\)
Последовательность не является геометрической прогрессией.
Исключение: при \(n = 1\) все члены равны 2 – это геометрическая прогрессия со знаменателем \(q = 1\).
3) \(2^{n},2^{n + 1},2^{n + 2},2^{n + 3}\)
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{2^{n + 1}}{2^{n}} = \dfrac{2^{n} \cdot 2}{2^{n}} = 2\)
\(q = \dfrac{b_{3}}{b_{2}} = \dfrac{2^{n + 2}}{2^{n + 1}} = \dfrac{2^{n + 1} \cdot 2}{2^{n + 1}} = 2\)
\(q = \dfrac{b_{4}}{b_{3}} = \dfrac{2^{n + 3}}{2^{n + 2}} = 2\)
Последовательность – геометрическая прогрессия
Ответ: 1) \(b_{1} = 2^{- n};\ q = 2^{- n}\); 2) Последовательность не является геометрической прогрессией; 3) \(b_{1} = 2^{n};\ q = 2\).
