Страница 22 номер 83, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Известно, что \(b > 0\) и \(a > b\). Является ли верным при всех указанных значениях \(a\) и \(b\) неравенство: 1) \(a^2 + a > b^2 + b\); 2) \(a^2 - a > b^2 - b\); 3) \(2 - a^2 < 2 - b^2\); 4) \(a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}\)?
\(b > 0;\ a > b \Rightarrow a,b\) – положительные числа.
1) \(a^{2} + a > b^{2} + b\)
\(a^{2} - b^{2} + a - b > 0\)
\((a - b)(a + b) + (a - b) > 0\)
\((a - b)(a + b + 1) > 0\)
Т.к. \(a > b\), то \(a - b > 0\) - положительное число, второй множитель тоже положительный, их произведение также положительное.
Данное неравенство верное.
2) \(a^{2} - a > b^{2} - b\)
\(a^{2} - b^{2} - a + b > 0\)
\((a - b)(a + b) - (a - b) > 0\)
\((a - b)(a + b - 1) > 0\)
Т.к. \(a > b\), то \(a - b > 0\) - положительное число.
2–й множитель положительный только тогда, когда \(a + b > 1\), в противном случае множитель отрицателен или равен нулю.
Данное неравенство верное только при \(a + b > 1\).
3) \(2 - a^{2} < 2 - b^{2}\)
\(- a^{2} < - b^{2}\)
\(a^{2} > b^{2}\)
Данное неравенство верное.
4) \(a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}\)
\(a - b + \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} > 0 \Rightarrow \begin{cases} a - b > 0\ \text{при}\ a > b \\ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} < 0\ \text{при}\ a > b\ \text{или}\frac{1}{a} < \frac{1}{b} \end{cases}\)
Данное неравенство верно при условии, что \(a - b > \frac{1}{b} - \frac{1}{a}\). Это неравенство не соответствует исходному неравенству.
Например, при \(a = 1\), \(b = \frac{1}{2}\): \(a + \frac{1}{a} = 1 + 1 = 2\), \(b + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} + 2 = 2\frac{1}{2}\), \(2 < 2\frac{1}{2}\).
Ответ: 1) верное; 2) неравенство верное только при \(a + b > 1\); 3) верное; 4) неверное.
