Страница 23 номер 92, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Равносильные уравнения – это уравнения, имеющие одни и те же корни, или не имеющие корней.

1) \(4x + 6 = 2x - 3\) и \(4x + 3 = 2x - 6\)
\(4x + 6 = 2x - 3 \Rightarrow 2x = - 9 \Rightarrow x = - 4{,}5\)
\(4x + 3 = 2x - 6 \Rightarrow 2x = - 9 \Rightarrow x = - 4{,}5\)

Корни одинаковы – уравнения равносильны.

2) \(8x - 4 = 0\) и \(2x - 1 = 0\)
\(8x - 4 = 0 \Rightarrow 8x = 4 \Rightarrow x = 0{,}5\)
\(2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0{,}5\)

Корни одинаковы – уравнения равносильны.

3) \(x^{2} + 2x - 3 = 0\) и \(x^{2} + x = 3 - x\)
\(x^{2} + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 3;\ x_{2} = 1\) по теореме Виета.
\(x^{2} + x = 3 - x \Rightarrow x^{2} + 2x - 3 = 0\) после приведения подобных членов получили первое уравнение, т.е. уравнения равносильны.

4) \(\frac{x^{2} - 1}{x + 1} = 0\) и \(x^{2} - 1 = 0\)
\(\dfrac{x^{2} - 1}{x + 1} = 0 \Rightarrow \begin{cases} (x - 1)(x + 1) = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = 1;\ x_{2} = - 1 \\ x \neq - 1 \end{cases}\ \Rightarrow x = 1\)
\(x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_{1} = 1;\ x_{2} = - 1\)

У данных уравнений разное количество корней – уравнения неравносильны.

5) \(\frac{x^{2} - 1}{x + 1} = 0\) и \(x - 1 = 0\)
\(\dfrac{x^{2} - 1}{x + 1} = 0 \Rightarrow \begin{cases} x^{2} - 1 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x_{1} = - 1;\ x_{2} = 1 \\ x \neq - 1 \end{cases}\ \Rightarrow x = 1\)
\(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)

Число корней данных уравнений равно и они одинаковы – уравнения равносильны.

6) \(x^{2} + 1 = 0\) и \(0x = 5\)

Первое уравнение не имеет корней, второе тоже не имеет корней (\(0x = 0 \neq 5\) при любом \(x\)) - уравнения равносильны.

Ответ: 1) равносильны; 2) равносильны; 3) равносильны; 4) неравносильны; 5) равносильны; 6) равносильны.