Вопросы после параграфа §3 на странице 20, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Пусть \(a > b\) и \(c > d\). Разность \((a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d)\) — сумма двух положительных чисел, поэтому она положительна и \(a + c > b + d\). Так же из \(a < b\) и \(c < d\) следует \(a + c < b + d\).

Говорят, что неравенство \(a + c > b + d\) получено из неравенств \(a > b\) и \(c > d\) почленным сложением: отдельно сложены левые части и отдельно — правые. Так же почленно складывают три и более неравенства одного знака.

Например, сложим почленно верные неравенства \(5 > 3\) и \(-1 > -4\):

\[+\begin{array}{c} 5 > 3 \\ -1 > -4 \\ \hline 4 > -1. \end{array}\]

Получилось верное неравенство того же знака.

Ответ: если \(a > b\) и \(c > d\), то \(a + c > b + d\). Иначе говоря, при почленном сложении верных неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака.

Знаки \(>\) и \(<\) противоположны. Если два неравенства записаны одним и тем же знаком, это неравенства одного знака, а если противоположными знаками — неравенства противоположных знаков.

Например, \(3 < 8\) и \(-2 < 0\) — неравенства одного знака, \(7 > 2\) и \(1 > -5\) — тоже, а \(3 < 8\) и \(6 > 1\) — неравенства противоположных знаков.

Почленно складывают и почленно умножают именно неравенства одного знака.

Ответ: неравенства \(a > b\) и \(c > d\) (или \(a < b\) и \(c < d\)) называют неравенствами одного знака, а неравенства \(a > b\) и \(c < d\) (или \(a < b\) и \(c > d\)) — неравенствами противоположных знаков.

Пусть \(a > b\), \(c > d\) и \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — положительные числа. Рассмотрим разность:

\(ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d).\)
\(a - b > 0\), \(c - d > 0\), \(c > 0\) и \(b > 0\), поэтому эта разность положительна, т. е. \(ac > bd\). Так же из \(a < b\) и \(c < d\) при положительных \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) следует \(ac < bd\). Почленно умножать можно и три и более таких неравенства.

Например, перемножим почленно верные неравенства \(5 > 2\) и \(4 > 3\) с положительными частями:

\[\times\begin{array}{c} 5 > 2 \\ 4 > 3 \\ \hline 20 > 6. \end{array}\]

Условие положительности обязательно: из верных неравенств \(-1 > -2\) и \(5 > 1\) почленным умножением получается неверное неравенство \(-5 > -2\).

Ответ: если \(a > b\), \(c > d\) и \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — положительные числа, то \(ac > bd\). Иначе говоря, при почленном умножении верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части — положительные числа, получается верное неравенство того же знака.

Если \(a > b\) и числа \(a\), \(b\) положительны, то можно почленно перемножить \(n\) одинаковых верных неравенств \(a > b\) — получится \(a^n > b^n\).

Например, из неравенства \(3 > 2\) следует \(3^4 > 2^4\), т. е. \(81 > 16\).

Без условия положительности вывод может оказаться неверным: \(-2 > -3\), но \((-2)^2 = 4\), \((-3)^2 = 9\) и \(4 < 9\).

Ответ: если \(a > b\) и \(a\), \(b\) — положительные числа, то \(a^n > b^n\), где \(n\) — натуральное число.