Страница 22 номер 86, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Сравните: 1) \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\) и \(\sqrt{11} + \sqrt{5}\); 2) \(2 + \sqrt{11}\) и \(\sqrt{5} + \sqrt{10}\); 3) \(\sqrt{15} - \sqrt{5}\) и \(\sqrt{2}\); 4) \(\sqrt{21} + \sqrt{20}\) и \(9\).
1) \(\sqrt{10} + \sqrt{6}\) и \(\sqrt{11} + \sqrt{5}\)
Возведем оба числа в квадрат и вычислим разность:
\(\left( \sqrt{10} + \sqrt{6} \right)^{2} - \left( \sqrt{11} + \sqrt{5} \right)^{2} =\)
\(= 10 + 2\sqrt{60} + 6 - \left( 11 + 2\sqrt{55} + 5 \right) =\)
\(= 16 + 2\sqrt{60} - 16 - 2\sqrt{55} = 2\sqrt{60} - 2\sqrt{55} > 0\)
т.к. разность положительная, то \(\left( \sqrt{10} + \sqrt{6} \right)^{2} > \left( \sqrt{11} + \sqrt{5} \right)^{2} \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \sqrt{10} + \sqrt{6} > \sqrt{11} + \sqrt{5}\)
2) \(2 + \sqrt{11}\) и \(\sqrt{5} + \sqrt{10}\)
Возведем оба числа в квадрат и вычислим разность:
\(\left( 2 + \sqrt{11} \right)^{2} - \left( \sqrt{5} + \sqrt{10} \right)^{2} =\)
\(= \left( 4 + 4\sqrt{11} + 11 \right) - \left( 5 + 2\sqrt{50} + 10 \right) =\)
\(= 15 + 2\sqrt{4 \cdot 11} - 15 - 2\sqrt{50} = 2\sqrt{44} - 2\sqrt{50} < 0\)
Т.к. разность отрицательная, то \(\left( 2 + \sqrt{11} \right)^{2} < \left( \sqrt{5} + \sqrt{10} \right)^{2} \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 2 + \sqrt{11} < \sqrt{5} + \sqrt{10}\)
3) \(\sqrt{15} - \sqrt{5}\) и \(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{15} - \sqrt{5} > 0\), т.к. \(\sqrt{15} > \sqrt{5}\)
Возведем оба числа в квадрат и вычислим разность:
\(\left( \sqrt{15} - \sqrt{5} \right)^{2} - \left( \sqrt{2} \right)^{2} = 15 - 2\sqrt{75} + 5 - 2 = 18 - 2\sqrt{25 \cdot 3} =\)
\(= 18 - 10\sqrt{3} > 0\), т.к. \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)
Т.к. разность положительная, \(\left( \sqrt{15} - \sqrt{5} \right)^{2} > \left( \sqrt{2} \right)^{2} \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \sqrt{15} - \sqrt{5} > \sqrt{2}\)
4) \(\sqrt{21} + \sqrt{20}\) и 9
Возведем оба числа в квадрат и вычислим разность:
\(\left( \sqrt{21} + \sqrt{20} \right)^{2} - 9^{2} = 21 + 2\sqrt{21 \cdot 20} + 20 - 81 =\)
\(= 2\sqrt{21 \cdot 20} - 40 = 2\sqrt{21 \cdot 20} - 2\sqrt{20^{2}} > 0\)
Разность положительная, т.к. \(\sqrt{21 \cdot 20} > \sqrt{20 \cdot 20}\).
Если разность положительная, то \(\left( \sqrt{21} + \sqrt{20} \right)^{2} > 9^{2} \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \sqrt{21} + \sqrt{20} > 9\)
Ответ: 1) \(\sqrt{10} + \sqrt{6} > \sqrt{11} + \sqrt{5}\); 2) \(2 + \sqrt{11} < \sqrt{5} + \sqrt{10}\); 3) \(\sqrt{15} - \sqrt{5} > \sqrt{2}\); 4) \(\sqrt{21} + \sqrt{20} > 9\).
