Страница 27 номер 1, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
1) \((a + b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqslant 4,\) если \(a > 0\) и \(b > 0\);
Используем неравенство Коши для чисел \(a,b:a + b \geqslant 2\sqrt{ab}\)
Для чисел \(\frac{1}{a},\frac{1}{b}:\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}\)
Далее почленное умножение:
\((a + b)\left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right) \geqslant 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}} \Rightarrow (a + b)\left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \right) \geqslant 4\)
2) \((a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 8abc,\) если \(a \geqslant 0,\ b \geqslant 0\) и \(c \geqslant 0\);
Используем неравенство Коши.
\(a,b \Rightarrow a + b \geqslant 2\sqrt{ab}\)
\(b,c \Rightarrow b + c \geqslant 2\sqrt{bc}\)
\(a,c \Rightarrow a + c \geqslant 2\sqrt{ac}\)
Почленное умножение:
\((a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ac}\)
\((a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 8\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}\)
\((a + b)(b + c)(a + c) \geqslant 8abc\)
3) \(\left( a^{3} + b \right)\left( a + b^{3} \right) \geqslant 4a^{2}b^{2},\) если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\);
По неравенству Коши:
\(a^{3},b \Rightarrow a^{3} + b \geqslant 2\sqrt{a^{3}b}\)
\(a,b^{3} \Rightarrow a + b^{3} \geqslant 2\sqrt{ab^{3}}\)
Почленное умножение:
\(\left( a^{3} + b \right)\left( a + b^{3} \right) \geqslant 2\sqrt{a^{3}b} \cdot 2\sqrt{ab^{3}}\)
\(\left( a^{3} + b \right)\left( a + b^{3} \right) \geqslant 4\sqrt{a^{4}b^{4}}\)
\(\left( a^{3} + b \right)\left( a + b^{3} \right) \geqslant 4a^{2}b^{2}\)
4) \((ab + 1)(a + b) \geqslant 4ab,\) если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\);
По неравенству Коши:
\(ab,1 \Rightarrow ab + 1 \geqslant 2\sqrt{ab \cdot 1}\)
\(a,b \Rightarrow a + b \geqslant 2\sqrt{ab}\)
Почленное умножение:
\((ab + 1)(a + b) \geqslant 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{ab}\)
\((ab + 1)(a + b) \geqslant 4ab\)
5) \((a + 2)(b + 5)(c + 10) \geqslant 80\sqrt{abc},\) если \(a \geqslant 0,\ b \geqslant 0\) и \(c \geqslant 0\);
По неравенству Коши:
\(a,2 \Rightarrow a + 2 \geqslant 2\sqrt{2a}\)
\(b,5 \Rightarrow b + 5 \geqslant 2\sqrt{5b}\)
\(c,10 \Rightarrow c + 10 \geqslant 2\sqrt{10c}\)
Почленное умножение:
\((a + 2)(b + 5)(c + 10) \geqslant 2\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{5b} \cdot 2\sqrt{10c}\)
\((a + 2)(b + 5)(c + 10) \geqslant 8\sqrt{100abc}\)
\((a + 2)(b + 5)(c + 10) \geqslant 80\sqrt{abc}\)
6) \(a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 4,\) если \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\);
По неравенству Коши:
\(a + b \geqslant 2\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{b}}\)
Почленное сложение:
\(a + b + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
\(a + b + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant 2\left( \dfrac{ab + 1}{\sqrt{ab}} \right)\)
Для правой части можно применить неравенство Коши
\(ab + 1 \geqslant 2\sqrt{ab}\)
\(a + b + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant 2 \cdot \dfrac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\)
\(a + b + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geqslant 4\)
7) \(\left( 1 + a_{1} \right)\left( 1 + a_{2} \right)\ldots\left( 1 + a_{n} \right) \geqslant 2^{n},\) если \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\) - положительные числа, произведение которых равно единице.
По неравенству Коши для любого \(n\):
\(1 + a_{n} \geqslant 2\sqrt{a_{n}}\)
Почленное умножение:
\(\left( 1 + a_{1} \right)\left( 1 + a_{2} \right)\left( 1 + a_{3} \right)\ldots\left( 1 + a_{n} \right) \geqslant 2\sqrt{a_{1}} \cdot 2\sqrt{a_{2}} \cdot 2\sqrt{a_{3}} \cdot \ldots \cdot 2\sqrt{a_{n}}\), где
\(2\sqrt{a_{1}} \cdot 2\sqrt{a_{2}} \cdot 2\sqrt{a_{3}} \cdot \ldots \cdot 2\sqrt{a_{n}} = 2^{n}\sqrt{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{n}} = 2^{n}\)
\(\left( 1 + a_{1} \right)\left( 1 + a_{2} \right)\ldots\left( 1 + a_{n} \right) \geqslant 2^{n}\)
