Вопросы после параграфа §4 на странице 28, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство.

Например, число 4 является решением неравенства \(3x - 1 > 5\): при \(x = 4\) получаем верное числовое неравенство \(3 \cdot 4 - 1 > 5\), т. е. \(11 > 5\). Число 2 решением этого неравенства не является: при \(x = 2\) получаем \(3 \cdot 2 - 1 > 5\), т. е. \(5 > 5\), а это неверное числовое неравенство.

Определение решения неравенства похоже на определение корня уравнения, однако говорить «корень неравенства» не принято.

Ответ: значение переменной, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует. Иначе говоря, решить неравенство — значит найти множество его решений.

Например, решим неравенство \((x - 3)^2 > 0\). Если \(x \ne 3\), то \(x - 3 \ne 0\), а квадрат числа, отличного от нуля, положителен, поэтому неравенство верно. Если \(x = 3\), то получаем \((3 - 3)^2 > 0\), т. е. \(0 > 0\), — неверное числовое неравенство. Значит, решениями неравенства \((x - 3)^2 > 0\) являются все числа, кроме числа 3.

Неравенство \(x^2 < -1\) решений не имеет: квадрат любого числа неотрицателен и поэтому не может быть меньше отрицательного числа \(-1\). Решить такое неравенство — значит доказать, что решений у него нет.

Ответ: найти все его решения или доказать, что решений не существует.

Все решения неравенства образуют множество решений неравенства.

Например, множество решений неравенства \(|x| > 0\) состоит из всех чисел, кроме числа 0: модуль любого числа, отличного от нуля, положителен, а при \(x = 0\) получаем \(|0| > 0\), т. е. \(0 > 0\), — неверное числовое неравенство. Множество решений неравенства \(x^2 \leqslant 0\) состоит из единственного числа 0: при \(x = 0\) получаем верное числовое неравенство \(0^2 \leqslant 0\), а квадрат любого другого числа положителен.

Ответ: множество решений неравенства.

Если неравенство не имеет решений, то говорят, что множеством его решений является пустое множество. Пустое множество обозначают символом \(\varnothing\).

Например, неравенство \(|x| < -2\) решений не имеет: модуль любого числа неотрицателен и поэтому не может быть меньше отрицательного числа. Не имеет решений и неравенство \(0x > 7\): при любом значении \(x\) левая часть равна 0, а числовое неравенство \(0 > 7\) неверно. Множество решений каждого из этих неравенств — пустое множество \(\varnothing\).

Ответ: когда неравенство не имеет решений.

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Например, неравенства \(x^2 \geqslant 0\) и \(|x| > -3\) равносильны: каждое из них верно при любом значении \(x\), т. е. множеством решений каждого из них является множество действительных чисел. Неравенства \(x^2 < 0\) и \(|x| < -5\) тоже равносильны: ни одно из них не имеет решений, т. е. множество решений каждого из них — пустое множество.

Неравенства \(x^2 > 0\) и \(x^2 \geqslant 0\) не равносильны: число 0 является решением второго неравенства (\(0^2 \geqslant 0\) — верно), но не является решением первого (\(0^2 > 0\) — неверно).

Ответ: неравенства, которые имеют одно и то же множество решений.