Страница 232 номер 818, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

\(S_{n} = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + \ldots + (n + 1)x^{n}\)

Слагаемое можно задать формулой: \(a_{n} = (n + 1)x^{n}\).

\(a_{n} = (n + 1)x^{n} = nx^{n} + x^{n} =\)
\(= \left((n - 1) + 1\right)x^{(n - 1)}x + x^{n} = a_{n - 1}x + x^{n}\)

Известно, что \(a_{0} = 1\).

Перепишем заданную формулу:

\(S_{n} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} =\)
\(= a_{0} + \left(a_{0}x + x^{1}\right) + \left(a_{1}x + x^{2}\right) + \left(a_{2}x + x^{3}\right) + \ldots + \left(a_{n - 1}x + x^{n}\right);\)
\(S_{n} = a_{0} + xS_{n - 1} + x^{1} + x^{2} + x^{3} + \ldots + x^{n} =\)
\(= a_{0} + x\left(S_{n} - a_{n}\right) + \dfrac{x\left(1 - x^{n}\right)}{1 - x},\)
\(S_{n} - xS_{n} = a_{0} - a_{n}x + \dfrac{x\left(1 - x^{n}\right)}{1 - x}.\)

Для случая \(x = 1\), получим:

\(S_{n} = 1 + 2 + 3 + \ldots + (n + 1) = \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2};\)

Для случая \(x \neq 1\), получим:

\(S_{n} = \dfrac{1}{1 - x}\left(1 - (n + 1)x^{n + 1} + \dfrac{x\left(1 - x^{n}\right)}{1 - x}\right) =\)
\(= \dfrac{1 - x - (n + 1)x^{n + 1}(1 - x) + x\left(1 - x^{n}\right)}{(1 - x)^{2}} =\)
\(= \dfrac{1 - x - (n + 1)x^{n + 1} + (n + 1)x^{n + 2} + x - x^{n + 1}}{(1 - x)^{2}} =\)
\(= \dfrac{1 - (n + 2)x^{n + 1} + (n + 1)x^{n + 2}}{(1 - x)^{2}}.\)