Страница 229 номер 793, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Найти все значения \(a\), при которых квадратичная функция \(y = x^2 + ax + a^2 + 6a\) принимает отрицательные значения при всех \(x\), таких, что \(1 < x < 2\).
Ветви направлены вверх. \(y < 0\) на промежутке \(x \in (1; 2)\) при
\(y(1) = 1 + a + a^{2} + 6a \leqslant 0,\)
\(y(2) = 4 + 2a + a^{2} + 6a \leqslant 0;\)
\(\begin{cases}1 + 7a + a^{2} \leqslant 0 \\ a^{2} + 8a + 4 \leqslant 0\end{cases},\)
\(a^{2} + 8a + 4 = 0,\)
\(a_{1{,}2} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{3},\)
\(a^{2} + 7a + 1 = 0,\)
\(a_{3{,}4} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2} = \dfrac{-7 \pm 3\sqrt{5}}{2},\)
\(\begin{cases}\left(a + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}\right)\left(a + \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\right) \leqslant 0 \\ \left(a + 4 - 2\sqrt{3}\right)\left(a + 4 + 2\sqrt{3}\right) \leqslant 0\end{cases}.\)
Ветви обеих парабол направлены вверх.
\(\begin{cases}a \in \left[\frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}; \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}\right] \\ a \in \left[-4 - 2\sqrt{3}; -4 + 2\sqrt{3}\right]\end{cases}.\)
Ответ: \(a \in \left[\frac{-7 - 3\sqrt{5}}{2}; -4 + 2\sqrt{3}\right]\).
