Страница 232 номер 819, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Найти сумму \(6 + 66 + 666 + \ldots + 666\ldots6\), где последнее слагаемое есть \(n\)-значное число.
Число, состоящее из \(n\) девяток можно представить в виде \(\left(10^{n} - 1\right)\).
Тогда число, состоящее из \(n\) шестёрок:
\(\dfrac{6}{9}\left(10^{n} - 1\right) = \dfrac{2}{3}\left(10^{n} - 1\right).\)
Тогда перепишем исходное выражение:
\(6 + 66 + 666 + \ldots + 666\ldots6 =\)
\(= \dfrac{2}{3}\left((10 - 1) + \left(10^{2} - 1\right) + \left(10^{3} - 1\right) + \ldots + \left(10^{n} - 1\right)\right) =\)
\(= \dfrac{2}{3}\left(\left(10 + 10^{2} + \ldots + 10^{n}\right) - n\right);\)
\(\left(10 + 10^{2} + \ldots + 10^{n}\right) = \dfrac{10(1 - 10^{n})}{1 - 10} =\)
\(= -\dfrac{10}{9}\left(1 - 10^{n}\right) = \dfrac{10^{n + 1} - 10}{9};\)
\(S = \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{10^{n + 1} - 10}{9} - n\right).\)
