Страница 235 номер 838, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Из пункта \(A\) по шоссе в одном направлении одновременно выехали два автомобиля, а спустя некоторое время из того же пункта вслед за ними выехал третий автомобиль. Через час после своего старта третий автомобиль был в 3 раза ближе к первому автомобилю, чем ко второму, а ещё через треть часа — на равном расстоянии от них. Определить, через какое время вслед за первыми двумя автомобилями выехал третий, если он догнал первый автомобиль через \(\frac{7}{4}\) ч после старта первых двух автомобилей.
Пусть \(v_{1}\) – скорость первого автомобиля, \(v_{2}\) – скорость второго автомобиля, \(v_{3}\) – скорость третьего автомобиля.
Так как на равном расстоянии от первого и второго третий автомобиль оказался позже, чем в первом положении (ближе к первому),
то \(v_{1} < v_{2} < v_{3}\).
Возможны два варианта первого расположения автомобилей (через час после старта третьего) (рисунок 1).
На равном расстоянии от первых двух третий автомобиль может оказаться лишь в одном положении (рисунок 2).
Обозначим через \(x\) искомое время в часах. Тогда для первого варианта:
\(v_{2}(x + 1) - v_{3} = 3\left(v_{1}(x + 1) - v_{3}\right).\)
А для второго:
\(v_{2}(x + 1) - v_{3} = 3\left(v_{3} - v_{1}(x + 1)\right).\)
Согласно рисунку 2:
\(\left(v_{1} + v_{2}\right)\left(x + \dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{8}{3}v_{3}.\)
По условию задачи:
\(\dfrac{7}{4}v_{1} = \left(\dfrac{7}{4} - x\right)v_{3}.\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases}(7 - 4x)v_{3} = 7v_{1} \\ 8v_{3} = (3x + 4)\left(v_{1} + v_{2}\right) \\ 2v_{3} = (x + 1)(3v_{1} - v_{2})\end{cases},\)
Разделим второе уравнение на третье:
\(4(x + 1)\left(3v_{1} - v_{2}\right) = (3x + 4)\left(v_{1} + v_{2}\right),\)
\(12xv_{1} - 4xv_{2} + 12v_{1} - 4v_{2} = 3xv_{1} + 3xv_{2} + 4v_{1} + 4v_{2},\)
\(v_{1}(12x + 12 - 3x - 4) = v_{2}(3x + 4 + 4x + 4),\)
\(v_{1}(9x + 8) = v_{2}(7x + 8).\)
Разделим третье уравнение на первое:
\(14v_{1} = (x + 1)\left(3v_{1} - v_{2}\right)(7 - 4x),\)
\(14v_{1} = \left(3xv_{1} - xv_{2} + 3v_{1} - v_{2}\right)(7 - 4x),\)
\(14v_{1} = 21xv_{1} - 12x^{2}v_{1} - 7xv_{2} + 4x^{2}v_{2} + 21v_{1} - 12xv_{1} - 7v_{2} + 4xv_{2},\)
\(v_{1}\left(12x^{2} - 9x - 7\right) = v_{2}\left(4x^{2} - 3x - 7\right).\)
Разделим второе полученное уравнение на первое:
\(\dfrac{12x^{2} - 9x - 7}{9x + 8} = \dfrac{4x^{2} - 3x - 7}{7x + 8},\)
\(84x^{3} + 96x^{2} - 63x^{2} - 72x - 49x - 56 = 36x^{3} + 32x^{2} - 27x^{2} - 24x -\)
\(-63x - 56,\)
\(48x^{3} + 28x^{2} - 34x = 0,\)
\(x > 0,\)
\(24x^{2} + 14x - 17 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-14 \pm \sqrt{196 + 1632}}{48},\)
\(x = \dfrac{-7 + \sqrt{457}}{24};\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases}4v_{3} = (x + 1)\left(v_{2} + 3v_{1}\right) \\ 8v_{3} = (3x + 4)\left(v_{1} + v_{2}\right) \\ (7 - 4x)v_{3} = 7v_{1}\end{cases};\)
Разделим второе уравнение на первое:
\(2(x + 1)\left(v_{2} + 3v_{1}\right) = (3x + 4)\left(v_{1} + v_{2}\right),\)
\(2xv_{2} + 6xv_{1} + 2v_{2} + 6v_{1} = 3xv_{1} + 3xv_{2} + 4v_{1} + 4v_{2},\)
\(v_{1}(6x + 6 - 3x - 4) = v_{2}(3x + 4 - 2x - 2),\)
\(v_{1}(3x + 2) = v_{2}(x + 2);\)
Разделим первое уравнение на третье:
\(28v_{1} = (7 - 4x)(x + 1)\left(v_{2} + 3v_{1}\right),\)
\(28v_{1} = 7xv_{2} + 21xv_{1} + 7v_{2} + 21v_{1} - 4x^{2}v_{2} - 12x^{2}v_{1} - 4xv_{2} - 12xv_{1},\)
\(v_{1}\left(28 - 21x - 21 + 12x^{2} + 12x\right) = v_{2}\left(7x + 7 - 4x^{2} - 4x\right),\)
\(v_{1}\left(12x^{2} + 7 - 9x\right) = v_{2}\left(-4x^{2} + 3x + 7\right).\)
Разделим второе полученное уравнение на первое:
\(\dfrac{12x^{2} + 7 - 9x}{3x + 2} = \dfrac{-4x^{2} + 3x + 7}{x + 2},\)
\(12x^{3} + 24x^{2} + 7x + 14 - 9x^{2} - 18x = -12x^{3} - 8x^{2} + 9x^{2} + 6x +\)
\(+21x + 14,\)
\(24x^{3} + 14x^{2} - 38x = 0,\)
\(x > 0,\)
\(12x^{2} + 7x - 19 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 + 912}}{24},\)
\(x = 1.\)
Ответ: \(1\) ч, \(\frac{-7 + \sqrt{457}}{24}\) ч.
