9класс
Страница 230 номер 803, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Задачи для внеклассной работы. Страница 230. Номер 803
Задание / условие:
Доказать, что для любых положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) справедливо неравенство \(\sqrt{(a + c)(b + d)} \ge \sqrt{ab} + \sqrt{cd}\).
Решение:
\(\sqrt{(a + c)(b + d)} \geqslant \sqrt{ab} + \sqrt{cd}\)
Возведём обе части в квадрат (обе части положительны, поэтому получим равносильное неравенство):
\((a + c)(b + d) \geqslant ab + 2\sqrt{abcd} + cd,\)
\(ab + ad + cb + cd \geqslant ab + 2\sqrt{abcd} + cd,\)
\(ad + cb - 2\sqrt{abcd} \geqslant 0,\)
\(\left(\sqrt{ad}\right)^{2} - 2\sqrt{abcd} + \left(\sqrt{cb}\right)^{2} \geqslant 0,\)
\(\left(\sqrt{ad} - \sqrt{cb}\right)^{2} \geqslant 0\) – выполняется при любых положительных \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).
Значит, исходное неравенство верно при любых положительных \(a\), \(b\), \(c\), \(d\).
Решение подготовила Екатерина Копова, учитель математики первой категории
