Страница 229 номер 795, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Задачи для внеклассной работы. Страница 229. Номер 795

Задание / условие:

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 + px + q = 0\). Найти \(p\) и \(q\), если известно, что числа \(x_1 + 1\) и \(x_2 + 1\) являются корнями уравнения \(x^2 - p^2x + pq = 0\).

Решение:

Воспользуемся теоремой Виета:

\(\begin{cases}x_{1} + x_{2} = -p \\ x_{1} \cdot x_{2} = q \\ \left(x_{1} + 1\right) + \left(x_{2} + 1\right) = p^{2} \\ \left(x_{1} + 1\right)\left(x_{2} + 1\right) = pq\end{cases},\)
\(\begin{cases}x_{1} + x_{2} = -p \\ x_{1} \cdot x_{2} = q \\ x_{1} + x_{2} = p^{2} - 2 \\ x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = pq\end{cases},\)
\(-p = p^{2} - 2,\)
\(p^{2} + p - 2 = 0,\)
\(p_{1{,}2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2},\)
\(p_{1} = -2, p_{2} = 1;\)
\(x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = q - p + 1 = pq,\)
\(pq - q = 1 - p,\)
\(q(p - 1) = 1 - p,\)
\(q = \frac{1 - p}{p - 1}\) при \(p \neq 1\),
\(1.\enspace p = -2:\)
\(q = \dfrac{1 + 2}{-2 - 1} = -1;\)
\(2.\enspace p = 1:\)
\(q(1 - 1) = 1 - 1\) – верно при любом \(q\);