Страница 234 номер 837, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль берега реки, отправляются одновременно из пункта \(A\) в пункт \(B\) и совершают безостановочное движение между \(A\) и \(B\). Первая встреча их произошла, когда автобус прошёл \(\frac{5}{9}\) всего расстояния от \(A\) до \(B\), а вторая встреча — когда автобус после первого захода в \(B\) проехал \(\frac{1}{8}\) всего расстояния от \(B\) до \(A\). Первый раз в пункт \(B\) автобус прибыл на 16 мин позже катера. Через сколько часов после начала движения автобус и катер первый раз окажутся одновременно в пункте \(A\)?
Пусть \(s\) – расстояние от \(A\) до \(B\), \(t_{0}\) и \(t_{1}\) – время (в часах) прохождения пути \(AB\) автобусом и катером, соответственно; \(t_{2}\) – время, за которое катер проходит путь от \(B\) до \(A\).
Тогда
\(\begin{cases}\frac{5}{9}t_{0} = t_{1} + \frac{4}{9}t_{2} \\ \frac{9}{8}t_{0} = t_{1} + t_{2} + \frac{7}{8}t_{1} \\ t_{0} = t_{1} + \frac{4}{15}\end{cases},\)
\(\begin{cases}\frac{5}{9}\left(t_{1} + \frac{4}{15}\right) = t_{1} + \frac{4}{9}t_{2} \\ \frac{9}{8}\left(t_{1} + \frac{4}{15}\right) = t_{1} + t_{2} + \frac{7}{8}t_{1}\end{cases},\)
\(\begin{cases}\frac{5}{9} \cdot \frac{15t_{1} + 4}{15} = t_{1} + \frac{4}{9}t_{2} \\ \frac{9}{8} \cdot \frac{15t_{1} + 4}{15} = \frac{15t_{1}}{8} + t_{2}\end{cases},\)
\(\begin{cases}\frac{4 - 12t_{1}}{27} = \frac{4}{9}t_{2} \\ \frac{12 - 30t_{1}}{40} = t_{2}\end{cases},\)
\(\dfrac{4 - 12t_{1}}{27} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{12 - 30t_{1}}{40},\)
\(90\left(4 - 12t_{1}\right) = 27\left(12 - 30t_{1}\right),\)
\(360 - 1080t_{1} = 324 - 810t_{1},\)
\(270t_{1} = 36,\)
\(t_{1} = \dfrac{36}{270} = \dfrac{2}{15},\)
\(t_{0} = t_{1} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{2}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5},\)
\(t_{2} = \dfrac{12 - 30t_{1}}{40} = \dfrac{12 - 30 \cdot \frac{2}{15}}{40} = \dfrac{8}{40} = \dfrac{1}{5}.\)
Автобус прибывает в пункт \(A\), выполнив чётное число рейсов (\(m\) от \(A\) до \(B\) и столько же в обратную сторону). При этом он затрачивает время \(2mt_{0}\). Возвращаясь в пункт \(A\), катер также делает чётное число рейсов \(2n\) и затрачивает время \(nt_{1} + nt_{2}\).
Одновременно они могут оказаться в пункте \(A\) только в том случае, когда выполняется равенство
\(2mt_{0} = n(t_{1} + t_{2}),\)
\(\dfrac{4}{5}m = n\left(\dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{5}\right),\)
\(\dfrac{4}{5}m = \dfrac{1}{3}n,\)
\(n = \frac{12}{5}m\) – наименьшее возможное целое \(12\). Тогда \(m = 5\).
Первый раз катер и автобус одновременно попадут в пункт \(A\) через
\(2mt_{0} = n\left(t_{1} + t_{2}\right) = 4\) часа.
Ответ: \(4\) часа.
