Страница 230 номер 802, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что для любых положительных чисел \(a\), \(b\), \(c\) справедливо неравенство: 1) \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{1}{\sqrt{bc}} + \frac{1}{\sqrt{ca}} + \frac{1}{\sqrt{ab}}\); 2) \(\frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} + \frac{2}{a + b} \ge \frac{9}{a + b + c}\).
1) \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant \frac{1}{\sqrt{bc}} + \frac{1}{\sqrt{ca}} + \frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{a}\right)^{2}} + \dfrac{1}{\left(\sqrt{b}\right)^{2}} + \dfrac{1}{\left(\sqrt{c}\right)^{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{bc}} - \dfrac{1}{\sqrt{ca}} - \dfrac{1}{\sqrt{ab}} \geqslant 0,\)
\(2\left(\dfrac{1}{\left(\sqrt{a}\right)^{2}} + \dfrac{1}{\left(\sqrt{b}\right)^{2}} + \dfrac{1}{\left(\sqrt{c}\right)^{2}} - \dfrac{1}{\sqrt{bc}} - \dfrac{1}{\sqrt{ca}} - \dfrac{1}{\sqrt{ab}}\right) \geqslant 0,\)
\(\left(\frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{b}}\right)^{2} + \left(\frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{c}}\right)^{2} + \left(\frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2} \geqslant 0\) верно при любых положительных \(a\), \(b\), \(c\);
2) \(\frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} + \frac{2}{a + b} \geqslant \frac{9}{a + b + c}\)
Пусть \(a + b = x\), \(b + c = y\), \(a + c = z\).
Тогда
\(\dfrac{2(xy + xz + yz)}{xyz} \geqslant \dfrac{9}{\dfrac{1}{2}(x + y + z)},\)
\((x + y + z)(xy + xz + yz) \geqslant 9xyz;\)
По теореме Коши:
\(\dfrac{x + y + z}{3} \geqslant \sqrt[3]{xyz},\)
\(\dfrac{xy + yz + xz}{3} \geqslant \sqrt[3]{xy \cdot yz \cdot xz};\)
\((x + y + z)(xy + xz + yz) \geqslant 9xyz\) – верно.
