Страница 231 номер 814, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Доказать, что \(\frac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\).

Если \(a\), \(b\), \(c\) – последовательные члены арифметической прогрессии, то

\(b - a = c - b = d,\)
\(c - a = 2d,\)

При \(d = 0\):

\(a = b = c,\)
\(\frac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\) – выполняется.

При \(d \neq 0\):

\(\dfrac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} + \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{c - b} + \dfrac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a} = \dfrac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d},\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} = \dfrac{2\left(\sqrt{c} - \sqrt{a}\right)}{c - a} = \dfrac{2\left(\sqrt{c} - \sqrt{a}\right)}{2d} = \dfrac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}.\)

Т.е. равенство \(\frac{2}{\sqrt{c} + \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\) выполняется.