Страница 230 номер 799, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что для любых чисел \(a\), \(b\), \(c\) справедливо неравенство: 1) \(a^2 + b^2 + c^2 - 2a + 4b - 6c + 14 \ge 0\); 2) \((a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)\); 3) \((a + b - c)^2 + (b + c - a)^2 + (a + c - b)^2 \ge ab + bc + ca\).
1) \(a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2a + 4b - 6c + 14 \geqslant 0\)
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2a + 4b - 6c + 14 =\)
\(= \left(a^{2} - 2a + 1\right) + \left(b^{2} + 4b + 4\right) + \left(c^{2} - 6c + 9\right) =\)
\(= (a - 1)^{2} + (b + 2)^{2} + (c - 3)^{2};\)
\((a - 1)^{2} + (b + 2)^{2} + (c - 3)^{2} \geqslant 0\) при любых \(a\), \(b\), \(c\);
2) \((a + b + c)^{2} \geqslant 3(ab + bc + ca)\)
\((a + b + c)^{2} = a^{2} + 2ab + 2ac + b^{2} + 2bc + c^{2},\)
\(a^{2} + 2ab + 2ac + b^{2} + 2bc + c^{2} - 3ab - 3bc - 3ca \geqslant 0,\)
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac \geqslant 0,\)
\(\dfrac{1}{2}(a - b)^{2} + \dfrac{1}{2}a^{2} + \dfrac{1}{2}b^{2} + c^{2} - bc - ac =\)
\(= \dfrac{1}{2}(a - b)^{2} + \dfrac{1}{2}(b - c)^{2} + \dfrac{1}{2}a^{2} + \dfrac{1}{2}c^{2} - ac =\)
\(= \dfrac{1}{2}(a - b)^{2} + \dfrac{1}{2}(b - c)^{2} + \dfrac{1}{2}(a - c)^{2} =\)
\(= \frac{1}{2}\left((a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2}\right) \geqslant 0\) при любых \(a\), \(b\), \(c\);
3) \((a + b - c)^{2} + (b + c - a)^{2} + (a + c - b)^{2} \geqslant ab + bc + ca\)
\(a^{2} + 2ab - 2ac + b^{2} - 2bc + c^{2} + b^{2} + 2bc - 2ab + c^{2} - 2ac + a^{2} +\)
\(+a^{2} + 2ac - 2ab + c^{2} - 2bc + b^{2} \geqslant ab + bc + ca,\)
\(3a^{2} - 3ab - 3ac + 3b^{2} - 3bc + 3c^{2} \geqslant 0,\)
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc \geqslant 0,\)
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc =\)
\(= \dfrac{1}{2}\left((a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2}\right) \geqslant 0\)
при любых \(a\), \(b\), \(c\).
