Страница 231 номер 812, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Задачи для внеклассной работы. Страница 231. Номер 812

Задание / условие:

Три числа, сумма которых равна 28, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии. Если из этих чисел вычесть соответственно 1, 3 и 9, то полученные числа будут последовательными членами арифметической прогрессии. Найти сумму первых 10 членов геометрической прогрессии.

Решение:

Пусть \(x\), \(y\), \(z\) – искомые числа.

Согласно условию последовательных членов арифметической прогрессии: \({y - 3 = \frac{(x - 1) + (z - 9)}{2}}\);

Согласно условию последовательных членов геометрической прогрессии: \(xz = y^{2}\);

\(\begin{cases}x + y + z = 28 \\ xz = y^{2} \\ y - 3 = \frac{(x - 1) + (z - 9)}{2}\end{cases},\)
\(\begin{cases}z = 28 - x - y \\ x(28 - x - y) = y^{2} \\ y - 3 = \frac{(x - 1) + (28 - x - y - 9)}{2}\end{cases},\)
\(\begin{cases}z = 28 - x - y \\ 28x - x^{2} - xy - y^{2} = 0 \\ y - 3 = \frac{18 - y}{2}\end{cases},\)
\(\begin{cases}z = 28 - x - y \\ 28x - x^{2} - xy - y^{2} = 0 \\ 2y - 6 - 18 + y = 0\end{cases},\)
\(\begin{cases}y = 8 \\ z = 20 - x \\ 28x - x^{2} - 8x - 64 = 0\end{cases},\)
\(x^{2} - 20x + 64 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 256}}{2},\)
\(x_{1} = 16, x_{2} = 4;\)
\(\begin{cases}y = 8 \\ x = 16 \\ z = 4\end{cases}\) или \(\begin{cases}y = 8 \\ x = 4 \\ z = 16\end{cases}\).
\(S_{10} = \dfrac{x(1 - q^{10})}{1 - q}, q = \dfrac{y}{x}\)
\(1.\enspace q = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{2}\)
\(S_{10} = \dfrac{16\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{16 \cdot \frac{1023}{1024}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1023}{32} = 31\dfrac{31}{32};\)
\(2.\enspace q = \dfrac{y}{x} = 2\)
\(S_{10} = \dfrac{4\left(1 - 2^{10}\right)}{1 - 2} = 4092.\)