Страница 231 номер 810, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\sqrt{1 - x^{2}} + 1 < \sqrt{3 - x^{2}}\)
\(|x| \leqslant 1;\)
\(1 - x^{2} + 2\sqrt{1 - x^{2}} + 1 < 3 - x^{2},\)
\(2\sqrt{1 - x^{2}} < 1.\)
\(1 - x^{2} < \dfrac{1}{4},\)
\(x^{2} > \dfrac{3}{4},\)
\(|x| > \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)

Ответ: \(-1 \leqslant x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2} < x \leqslant 1\);

2) \(x + 4 > 2\sqrt{4 - x^{2}}\)
\(|x| \leqslant 2,\)
\(x^{2} + 8x + 16 > 16 - 4x^{2},\)
\(5x^{2} + 8x > 0,\)
\(x(5x + 8) = 0\) – парабола, ветви направлены вверх,
\(x_{1} = 0, x_{2} = -\dfrac{8}{5} = -1\dfrac{3}{5};\)
\(x > 0, x < -1\dfrac{3}{5}.\)

Ответ: \(-2 \leqslant x < -1\frac{3}{5}\), \(0 < x \leqslant 2\);

3) \(\sqrt{x^{2} - 6x} < 8 + 2x\)
\(\begin{cases}x^{2} - 6x \geqslant 0 \\ 8 + 2x > 0\end{cases},\)
\(\begin{cases}x(x - 6) \geqslant 0 \\ x > -4\end{cases},\)
\(\begin{cases}x \leqslant 0, x \geqslant 6 \\ x > -4\end{cases}.\)

Неравенство может выполняться только при \(x \in (-4; 0] \cup [6; +\infty)\).

\(x^{2} - 6x < 64 + 32x + 4x^{2},\)
\(3x^{2} + 38x + 64 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-38 \pm \sqrt{1444 - 768}}{6},\)
\(x_{1} = -2, x_{2} = -\dfrac{64}{6} = -10\dfrac{2}{3}.\)

Парабола, ветви направлены вверх.

\(x \in \left(-\infty; -10\dfrac{2}{3}\right) \cup (-2; +\infty).\)

Ответ: \(x \in (-2; 0] \cup [6; +\infty)\);

4) \(2 - 3x < \sqrt{4 + 9x - 9x^{2}}\)
\(4 + 9x - 9x^{2} \geqslant 0,\)
\(9x^{2} - 9x - 4 \leqslant 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{18},\)
\(x_{1} = 1\dfrac{1}{3}, x_{2} = -\dfrac{1}{3}.\)

Парабола, ветви направлены вверх.

\(x \in \left[-\dfrac{1}{3}; 1\dfrac{1}{3}\right];\)

1. При \(x \in \left(\frac{2}{3}; 1\frac{1}{3}\right]\) неравенство справедливо, т.к. \(2 - 3x < 0\), а \(\sqrt{4 + 9x - 9x^{2}} \geqslant 0\).

2. При \(x \in \left[-\frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right]\) обе части неотрицательны:

\(4 - 12x + 9x^{2} < 4 + 9x - 9x^{2},\)
\(21x - 18x^{2} > 0,\)
\(3x(7 - 6x) > 0.\)

Парабола, ветви направлены вниз.

\(x \in \left(0; 1\dfrac{1}{6}\right).\)

С учетом \(x \leqslant \frac{2}{3}\): \(x \in \left(0; \frac{2}{3}\right]\).

Ответ: \(x \in \left(0; 1\frac{1}{3}\right]\);

5) \(\frac{2x + 3}{\sqrt{6x^{2} + 7x - 3}} < 2\)

Область допустимых значений:

\(6x^{2} + 7x - 3 > 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12},\)
\(x_{1} = \dfrac{1}{3}, x_{2} = -1\dfrac{1}{2};\)

Парабола, ветви направлены вверх.

\(x < -1\dfrac{1}{2}, x > \dfrac{1}{3}.\)

При \(x < -1\frac{1}{2}\) неравенство справедливо.

\(\sqrt{\dfrac{(2x + 3)^{2}}{(2x + 3)(3x - 1)}} < 2,\)
\(\dfrac{2x + 3}{3x - 1} < 4.\)
\(2x + 3 < 12x - 4,\)
\(10x > 7,\)
\(x > \dfrac{7}{10}.\)

Ответ: \(x < -1\frac{1}{2}\), \(x > \frac{7}{10}\);

6) \(\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{x - 1} > -\frac{1}{3}\),

Область допустимых значений:

\(\begin{cases}x + 3 \geqslant 0 \\ x \neq 1\end{cases},\)
\(\begin{cases}x \geqslant - 3 \\ x \neq 1\end{cases};\)

1. При \(x \in [-3; 1\)):

\(6 - 3\sqrt{x + 3} < 1 - x,\)
\(3\sqrt{x + 3} > 5 + x,\)
\(9x + 27 > 25 + 10x + x^{2},\)
\(x^{2} + x - 2 < 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2},\)
\(x_{1} = 1, x_{2} = -2;\)

Парабола, ветви направлены вверх.

\(x \in (-2; 1);\)

2. При \(x > 1\):

\(6 - 3\sqrt{x + 3} > 1 - x,\)
\(3\sqrt{x + 3} < 5 + x,\)
\(9x + 27 < 25 + 10x + x^{2},\)
\(x^{2} + x - 2 > 0,\)
\(x_{1} = 1, x_{2} = -2;\)

Парабола, ветви направлены вверх.

\(x > 1.\)

Ответ: \(-2 < x < 1\), \(x > 1\).