Страница 230 номер 801, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(a^{3} + b^{3} + c^{3} \geqslant 3abc\)
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)\left(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ac\right) =\)
\(= \dfrac{1}{2}(a + b + c)\left((a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2}\right) \geqslant 0,\)
\(a + b + c \geqslant 0\), т.к. \(a\), \(b\), \(c\) неотрицательны;
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} \geqslant 3abc;\)

2) \((a + b + c)(ab + bc + ca) \geqslant 9abc\)

Используя неравенство Коши получим:

\(\dfrac{a + b + c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc},\)
\(\dfrac{ab + bc + ac}{3} \geqslant \sqrt[3]{ab \cdot bc \cdot ac},\)
\(\dfrac{a + b + c}{3} \cdot \dfrac{ab + bc + ac}{3} \geqslant \sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3}},\)
\((a + b + c)(ab + bc + ac) \geqslant 9abc;\)

3) \((a + b)(b + c)(c + a) \geqslant 8abc\)

Используя неравенство Коши получим:

\(\dfrac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}, \dfrac{b + c}{2} \geqslant \sqrt{bc}, \dfrac{a + c}{2} \geqslant \sqrt{ac}\)
\(\dfrac{a + b}{2} \cdot \dfrac{b + c}{2} \cdot \dfrac{a + c}{2} \geqslant \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ac},\)
\(\dfrac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} \geqslant \sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}},\)
\((a + b)(b + c)(c + a) \geqslant 8abc;\)

4) \((a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \leqslant abc\)

Неравенство симметрично относительно \(a\), \(b\), \(c\).

Предположим, что \(a \leqslant b \leqslant c\).

Тогда

\(b + c - a \geqslant 0\) и \(c + a - b \geqslant 0\).

1. Если \(a + b - c < 0\), то левая часть \(\leqslant 0 \leqslant abc\) – неравенство выполняется;

2. Если \(a + b - c \geqslant 0\):

Обозначим \(a + b - c = x\), \(b + c - a = y\), \(c + a - b = z\).

Выразим \(a = \frac{x + z}{2}\), \(b = \frac{x + y}{2}\), \(c = \frac{y + z}{2}\).

Тогда

\(abc = \dfrac{x + z}{2} \cdot \dfrac{x + y}{2} \cdot \dfrac{y + z}{2} \geqslant \sqrt{xz} \cdot \sqrt{xy} \cdot \sqrt{yz},\)
\(abc \geqslant \sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}},\)
\(abc \geqslant (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).\)