Страница 232 номер 815, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что если положительные числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то \(\dfrac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \dfrac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} = \dfrac{n - 1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}.\)
Пусть \(d\) – разность прогрессии. При \(d = 0\): \(a_{1} = a_{2} = \ldots = a_{n}\), обе части равны \(\frac{n - 1}{2\sqrt{a_{1}}}\).
При \(d \neq 0\):
\(\frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}} + \sqrt{a_{n}}} =\)
\(= \frac{\sqrt{a_{2}} - \sqrt{a_{1}}}{a_{2} - a_{1}} + \frac{\sqrt{a_{3}} - \sqrt{a_{2}}}{a_{3} - a_{2}} + \cdots + \frac{\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{n - 1}}}{a_{n} - a_{n - 1}} =\)
\(= \frac{\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{1}}}{d}\), т.к. \(a_{n} - a_{n - 1} = d\).
\(\frac{n - 1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{n}}} = \frac{(n - 1)(\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{1}})}{a_{n} - a_{1}} = \frac{\sqrt{a_{n}} - \sqrt{a_{1}}}{d}\), т.к. \(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d\).
Левая и правая части равны.
