Страница 232 номер 823, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Последовательность определяется при \(n > 2\) рекуррентной формулой \(x_n = (\alpha + \beta)x_{n-1} - \alpha\beta x_{n-2}\), где \(\alpha\), \(\beta\), \(x_1\), \(x_2\) — заданные числа, такие, что \(\alpha\beta \ne 0\), \(\alpha \ne \beta\). Найти формулу \(n\)-го члена \(x_n\).
\(x_{3} = (\alpha + \beta)x_{2} - \alpha\beta x_{1},\)
\(x_{4} = (\alpha + \beta)x_{3} - \alpha\beta x_{2} = \left((\alpha + \beta)^{2}x_{2} - \alpha\beta(\alpha + \beta)x_{1}\right) - \alpha\beta x_{2} =\)
\(= \left(\alpha^{2} + 2\alpha\beta + \beta^{2} - \alpha\beta\right)x_{2} - \alpha\beta(\alpha + \beta)x_{1} =\)
\(= \dfrac{(\alpha - \beta)\left(\alpha^{2} + \alpha\beta + \beta^{2}\right)}{\alpha - \beta}x_{2} -\)
\(-\alpha\beta(\alpha + \beta)x_{1} = \dfrac{\alpha^{3} - \beta^{3}}{\alpha - \beta}x_{2} - \alpha\beta\dfrac{\alpha^{2} - \beta^{2}}{\alpha - \beta}x_{1},\)
\(x_{n} = \dfrac{\alpha^{n - 1} - \beta^{n - 1}}{\alpha - \beta}x_{2} - \alpha\beta\dfrac{\alpha^{n - 2} - \beta^{n - 2}}{\alpha - \beta}x_{1}.\)
Проверим: при \(n = 2\) и \(n = 3\) формула даёт \(x_{2}\) и \(x_{3}\). Если она верна для \(x_{n - 2}\) и \(x_{n - 1}\), то верна и для \(x_{n} = (\alpha + \beta)x_{n - 1} - \alpha\beta x_{n - 2}\), так как для числителей дробей при \(x_{2}\) (\(k = n - 2\)) и при \(x_{1}\) (\(k = n - 3\))
\((\alpha + \beta)\left(\alpha^{k} - \beta^{k}\right) - \alpha\beta\left(\alpha^{k - 1} - \beta^{k - 1}\right) = \alpha^{k + 1} - \beta^{k + 1}.\)
