Страница 232 номер 817, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Пусть \(S_n\) — сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии. Доказать, что: 1) \(S_{n+k} - S_n = q^n S_k\); 2) \(S_n(S_{3n} - S_{2n}) = (S_{2n} - S_n)^2\).
1) \(S_{n + k} - S_{n} = q^{n}S_{k}\)
При \(q \neq 1\):
\(S_{n + k} = \dfrac{b_{1}(1 - q^{n + k})}{1 - q},\)
\(q^{n}S_{k} + S_{n} = q^{n} \cdot \dfrac{b_{1}\left(1 - q^{k}\right)}{1 - q} + \dfrac{b_{1}\left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} =\)
\(= \dfrac{b_{1}q^{n} - b_{1}q^{n + k} + b_{1} - b_{1}q^{n}}{1 - q} = \dfrac{b_{1}(1 - q^{n + k})}{1 - q};\)
При \(q = 1\):
\(S_{n + k} - S_{n} = (n + k)b_{1} - nb_{1} = kb_{1} = q^{n}S_{k}.\)
2) \(S_{n}\left(S_{3n} - S_{2n}\right) = \left(S_{2n} - S_{n}\right)^{2}\)
При \(q \neq 1\):
\(S_{2n} = \dfrac{b_{1}\left(1 - q^{2n}\right)}{1 - q},\)
\(S_{n} = \dfrac{b_{1}\left(1 - q^{n}\right)}{1 - q},\)
\(S_{3n} = \dfrac{b_{1}\left(1 - q^{3n}\right)}{1 - q},\)
\(S_{3n} - S_{2n} = \dfrac{b_{1}\left(1 - q^{3n}\right) - b_{1}\left(1 - q^{2n}\right)}{1 - q} = \dfrac{b_{1}q^{2n}\left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} = q^{2n} \cdot S_{n},\)
\(S_{2n} - S_{n} = \dfrac{b_{1}\left(1 - q^{2n}\right) - b_{1}\left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} = \dfrac{b_{1}q^{n}\left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} = q^{n}S_{n},\)
\(S_{n} \cdot q^{2n} \cdot S_{n} = \left(q^{n}S_{n}\right)^{2}.\)
При \(q = 1\):
\(S_{n}\left(S_{3n} - S_{2n}\right) = nb_{1}\left(3nb_{1} - 2nb_{1}\right) = \left(nb_{1}\right)^{2} =\)
\(= \left(2nb_{1} - nb_{1}\right)^{2} = \left(S_{2n} - S_{n}\right)^{2}.\)
