Страница 236 номер 843, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Задачи для внеклассной работы. Страница 236. Номер 843

Задание / условие:

Катер и пароход, отправляясь одновременно из пункта \(A\) в пункт \(B\) по направлению течения реки, осуществляют безостановочное движение между \(A\) и \(B\). За один рабочий день катер делает 5 рейсов, а пароход — 9 рейсов (рейс — движение от \(A\) до \(B\) и обратно). Через 20 мин после начала движения, когда катер прошёл \(\frac{5}{6}\) всего расстояния от \(A\) до \(B\), происходит их первая встреча. Определить продолжительность рабочего дня.

Решение:

Пусть \(v_{1}\) – скорость парохода в стоячей воде, \(v_{2}\) – скорость катера, \(v\) – скорость течения реки, \(s\) – расстояние от \(A\) до \(B\), \(t\) – продолжительность рабочего дня.

Введём обозначения:

\(\frac{s}{v_{1} - v} = x\) – время, затрачиваемое пароходом на преодоление расстояния \(s\) против течения;
\(\frac{s}{v_{1} + v} = y\) – время, затрачиваемое пароходом на преодоление расстояния \(s\) по течению;
\(\frac{s}{v_{2} - v} = z\) – время, затрачиваемое катером на преодоление расстояния \(s\) против течения;
\(\frac{s}{v_{2} + v} = u\) – время, затрачиваемое катером на преодоление расстояния \(s\) по течению.

Тогда

\(t = 9(x + y) = 5(z + u),\)
\(y + \dfrac{x}{6} = \dfrac{1}{3},\)
\(\dfrac{5}{6}u = \dfrac{1}{3};\)
\(u = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{2}{5};\)
\(\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{(v_{1} + v) - (v_{1} - v)}{s} = \dfrac{2v}{s} = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{z},\)
\(\begin{cases}x + y = \frac{t}{9} \\ x + 6y = 2 \\ z + \frac{2}{5} = \frac{t}{5} \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{1}{u} - \frac{1}{z}\end{cases},\)
\(\begin{cases}z = \frac{t}{5} - \frac{2}{5} \\ x = 2 - 6y \\ 2 - 6y + y = \frac{t}{9} \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{5}{2} - \frac{5}{t - 2}\end{cases},\)
\(\begin{cases}z = \frac{t}{5} - \frac{2}{5} \\ y = \frac{18 - t}{45} \\ x = \frac{-6 + 2t}{15} \\ \frac{45}{18 - t} - \frac{15}{2t - 6} = \frac{5}{2} - \frac{5}{t - 2}\end{cases},\)
\(45 \cdot 2(t - 3)(t - 2) - 15(18 - t)(t - 2) = 5(18 - t)(t - 3)(t - 2) -\)
\(-5(18 - t) \cdot 2(t - 3),\)
\(90t^{2} - 450t + 540 - 270t + 540 + 15t^{2} - 30t =\)
\(= (90 - 5t)\left(t^{2} - 5t + 6\right) - 10(18t - 54 - t^{2} + 3t),\)
\(105t^{2} - 750t + 1080 = 90t^{2} - 450t + 540 - 5t^{3} + 25t^{2} - 30t -\)
\(-180t + 540 + 10t^{2} - 30t,\)
\(-5t^{3} + 20t^{2} + 60t = 0,\)
\(t > 0,\)
\(t^{2} - 4t - 12 = 0,\)
\(t_{1{,}2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2},\)
\(t = 6.\)