Страница 230 номер 800, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что при любом натуральном числе \(n > 2\) справедливо неравенство: 1) \(\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}\); 2) \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{2n}\).
1) \(\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}\)
Обозначим левую часть \(S_{n}\).
Рассмотрим \(S_{n}\) при \(n = k\), когда \(S_{k} > \frac{1}{2}\).
Тогда \(S_{k} = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k}\) и
\(S_{k + 1} = \dfrac{1}{k + 2} + \dfrac{1}{k + 3} + \ldots + \dfrac{1}{2k} + \dfrac{1}{2k + 1} + \dfrac{1}{2k + 2}.\)
\(S_{k + 1} - S_{k} = \dfrac{1}{(2k + 1)(2k + 2)}.\)
При любом натуральном \(k\) получаем \(S_{k + 1} > S_{k}\).
Т.к. \(S_{k} > \frac{1}{2}\), то и \(S_{k + 1} > \frac{1}{2}\).
\(S_{3} = \dfrac{1}{3 + 1} + \dfrac{1}{3 + 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} = \dfrac{15 + 12 + 10}{60} = \dfrac{37}{60} > \dfrac{1}{2}.\)
Значит левая часть больше правой при любом \(n > 2\);
2) \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} < \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{2n}\)
\(\left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{2n} = \left(\left(1 + \dfrac{1}{2n}\right)^{2}\right)^{n} = \left(1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{4n^{2}}\right)^{n},\)
\(1 + \dfrac{1}{n} < 1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{4n^{2}}.\)
Значит при любом \(n > 0\) неравенство \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} < \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{2n}\) выполняется.
