Страница 235 номер 841, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Автобус из пункта \(A\) и автомобиль из пункта \(B\) отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между \(A\) и \(B\). Первая встреча их произошла через 42 мин после начала движения, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль первый раз окажутся одновременно в пункте \(A\)?
Пусть \(u\) и \(v\) – скорости автобуса и автомобиля соответственно, \(s\) – расстояние между \(A\) и \(B\).
\(\begin{cases}42(u + v) = s \\ 154(v - u) = s\end{cases},\)
\(t\) и \(\tau\) – время, затрачиваемое на путь \(s\) автобусом и автомобилем соответственно.
Тогда
\(t = \dfrac{s}{u}, \tau = \dfrac{s}{v}\)
\(\begin{cases}\frac{1}{t} + \frac{1}{\tau} = \frac{1}{42} \\ \frac{1}{\tau} - \frac{1}{t} = \frac{1}{154}\end{cases},\)
\(\begin{cases}\frac{1}{t} = \frac{1}{42} - \frac{1}{\tau} \\ \frac{1}{\tau} - \frac{1}{42} + \frac{1}{\tau} = \frac{1}{154}\end{cases},\)
\(\begin{cases}\frac{1}{t} = \frac{1}{42} - \frac{1}{\tau} \\ \frac{2}{\tau} = \frac{1}{154} + \frac{1}{42}\end{cases},\)
\(\begin{cases}\tau = 66 \\ t = \frac{2772}{24} = \frac{231}{2}\end{cases}.\)
В пункт \(A\) автобус и автомобиль прибывают, сделав \(2m\) и \({2n + 1}\) рейсов соответственно. Они одновременно могут оказаться в пункте \(A\), если \({2mt = (2n + 1)\tau}\).
\(m = \dfrac{(2n + 1)\tau}{2t} = \dfrac{(2n + 1) \cdot 66 \cdot 2}{2 \cdot 231} = \dfrac{2(2n + 1)}{7}.\)
Так как \(m\) – натуральное число, а числа \(2\) и \(7\) взаимно простые, то \((2n + 1)\) должно делиться на \(7\). Наименьшее \(n\), удовлетворяющее условию – \(3\). Тогда \(m = 2\).
Тогда в пункте \(A\) автобус и автомобиль окажутся через
\(2mt = 2 \cdot 2 \cdot \frac{231}{2} = 462\) минуты.
Ответ: \(462\) минуты.
