Страница 231 номер 808, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Задачи для внеклассной работы. Страница 231. Номер 808

Задание / условие:

Построить график функции: 1) \(y = |x - 2| + |x + 4|\); 2) \(y = |x - 3| - |x - 1|\); 3) \(y = \sqrt{x^2 + 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}\); 4) \(y = \sqrt{x^2 + 10x + 25} - \sqrt{x^2 - 2x + 1}\); 5) \(y = \frac{3x - 2}{|x - 1|}\); 6) \(y = \frac{2|x| - 1}{|x| - 4}\); 7) \(y = \frac{1}{x^2 - x - 2}\); 8) \(y = \frac{1}{x^2 - |x|}\).

Решение:

1) \(y = |x - 2| + |x + 4|\)
\(|x - 2| = \begin{cases}x - 2, x \geqslant 2 \\ 2 - x, x < 2\end{cases},\)
\(|x + 4| = \begin{cases}x + 4, x \geqslant - 4 \\ -x - 4, x < -4\end{cases};\)
\(1.\enspace x < -4:\)
\(y = 2 - x - x - 4 = -2x - 2;\)
\(2.\enspace {-} 4 \leqslant x < 2:\)
\(y = 2 - x + x + 4 = 6;\)
\(3.\enspace x \geqslant 2:\)
\(y = x - 2 + x + 4 = 2x + 2;\)
\(y = \begin{cases} - 2x - 2, x < -4 \\ 6, -4 \leqslant x < 2 \\ 2x + 2, x \geqslant 2\end{cases};\)

график

2) \(y = |x - 3| - |x - 1|\)
\(|x - 3| = \begin{cases}x - 3, x \geqslant 3 \\ 3 - x, x < 3\end{cases},\)
\(|x - 1| = \begin{cases}x - 1, x \geqslant 1 \\ 1 - x, x < 1\end{cases};\)
\(1.\enspace x < 1:\)
\(y = 3 - x - 1 + x = 2;\)
\(2.\enspace 1 \leqslant x < 3:\)
\(y = 3 - x - x + 1 = 4 - 2x;\)
\(3.\enspace x \geqslant 3:\)
\(y = x - 3 - x + 1 = -2;\)
\(y = \begin{cases}2, x < 1 \\ 4 - 2x, 1 \leqslant x < 3 \\ -2, x \geqslant 3\end{cases};\)

график

3) \(y = \sqrt{x^{2} + 4x + 4} + \sqrt{x^{2} - 6x + 9}\)
\(y = \sqrt{x^{2} + 4x + 4} + \sqrt{x^{2} - 6x + 9} =\)
\(= \sqrt{(x + 2)^{2}} + \sqrt{(x - 3)^{2}} =\)
\(= |x + 2| + |x - 3|;\)
\(|x + 2| = \begin{cases}x + 2, x \geqslant - 2 \\ -x - 2, x < -2\end{cases},\)
\(|x - 3| = \begin{cases}x - 3, x \geqslant 3 \\ 3 - x, x < 3\end{cases};\)
\(1.\enspace x < -2:\)
\(y = -x - 2 + 3 - x = 1 - 2x;\)
\(2.\enspace {-} 2 \leqslant x < 3:\)
\(y = x + 2 + 3 - x = 5;\)
\(3.\enspace x \geqslant 3:\)
\(y = x + 2 + x - 3 = 2x - 1;\)
\(y = \begin{cases}1 - 2x, x < -2 \\ 5, -2 \leqslant x < 3 \\ 2x - 1, x \geqslant 3\end{cases};\)

график

4) \(y = \sqrt{x^{2} + 10x + 25} - \sqrt{x^{2} - 2x + 1}\)
\(y = \sqrt{x^{2} + 10x + 25} - \sqrt{x^{2} - 2x + 1} =\)
\(= \sqrt{(x + 5)^{2}} - \sqrt{(x - 1)^{2}} =\)
\(= |x + 5| - |x - 1|;\)
\(|x + 5| = \begin{cases}x + 5, x \geqslant - 5 \\ -x - 5, x < -5\end{cases},\)
\(|x - 1| = \begin{cases}x - 1, x \geqslant 1 \\ 1 - x, x < 1\end{cases};\)
\(1.\enspace x < -5:\)
\(y = -x - 5 - 1 + x = -6;\)
\(2.\enspace {-} 5 \leqslant x < 1:\)
\(y = x + 5 - 1 + x = 2x + 4;\)
\(3.\enspace x \geqslant 1:\)
\(y = x + 5 - x + 1 = 6;\)
\(y = \begin{cases} - 6, x < -5 \\ 2x + 4, -5 \leqslant x < 1 \\ 6, x \geqslant 1\end{cases};\)

график

5) \(y = \frac{3x - 2}{|x - 1|}\)

Область определения: \(x \neq 1\);

\(|x - 1| = \begin{cases}x - 1, x > 1 \\ 1 - x, x < 1\end{cases};\)
\(y = \begin{cases}\frac{3x - 2}{x - 1}, x > 1 \\ \frac{3x - 2}{1 - x}, x < 1\end{cases},\)
\(y = \begin{cases}\frac{3x - 3 + 1}{x - 1}, x > 1 \\ \frac{-3(1 - x) + 1}{1 - x}, x < 1\end{cases},\)
\(y = \begin{cases} - 3 + \frac{1}{1 - x}, x < 1 \\ 3 + \frac{1}{x - 1}, x > 1\end{cases};\)

график

6) \(y = \frac{2|x| - 1}{|x| - 4}\)

Чётная функция. Симметрична относительно оси \(Oy\).

Область определения: \(x \neq \pm 4\);

\(x \geqslant 0 :\)
\(y = \dfrac{2x - 1}{x - 4} = \dfrac{2x - 8 + 7}{x - 4} = 2 + \dfrac{7}{x - 4};\)

график

7) \(y = \frac{1}{x^{2} - x - 2}\)
\(x^{2} - x - 2 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2},\)
\(x_{1} = 2, x_{2} = -1;\)
\(y = \dfrac{1}{x^{2} - x - 2} = \dfrac{1}{(x - 2)(x + 1)};\)

Область определения: \(x \neq 2\), \(x \neq - 1\).

Функция симметрична относительно

\(x = \dfrac{1}{2};\)

график