Страница 232 номер 820, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Последовательность определяется рекуррентной формулой \(x_n = ax_{n-1} + b\), где \(a\), \(b\), \(x_1\) — заданные числа. Найти формулу \(n\)-го члена \(x_n\) и формулу суммы \(n\) первых членов \(S_n\).
\(x_{2} = ax_{1} + b,\)
\(x_{3} = ax_{2} + b = a^{2}x_{1} + ab + b,\)
\(x_{4} = ax_{3} + b = a^{3}x_{1} + a^{2}b + ab + b,\)
\(x_{n} = a^{n - 1}x_{1} + b\left(1 + a + a^{2} + \ldots + a^{n - 2}\right) = a^{n - 1}x_{1} + b\dfrac{1 - a^{n - 1}}{1 - a};\)
При \(a = 1\):
\(x_{n} = x_{1} + b(n - 1);\)
Сумма соответственно:
\(S_{n} = x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n} =\)
\(= x_{1} + \left(x_{1} + b\right) + \left(x_{1} + 2b\right) + \ldots + \left(x_{1} + (n - 1)b\right) =\)
\(= nx_{1} + b(1 + 2 + \ldots + n - 1) = nx_{1} + nb\left(\dfrac{n - 1}{2}\right);\)
При \(a \neq 1\):
\(S_{n} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \ldots + x_{n} =\)
\(= x_{1} + \left(ax_{1} + b\right) + \left(a^{2}x_{1} + ab + b\right) + \ldots +\)
\(+a^{n - 1}x_{1} + b\dfrac{1 - a^{n - 1}}{1 - a} = x_{1}\left(\dfrac{1 - a^{n}}{1 - a}\right) + \dfrac{b}{1 - a}\left(n - \dfrac{1 - a^{n}}{1 - a}\right).\)
