Страница 229 номер 796, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

\(-3 < \dfrac{x^{2} + rx - 2}{x^{2} - x + 1} < 2\)

Квадратное уравнение \(x^{2} - x + 1 = 0\) не имеет корней, т.к.

\(D = 1 - 4 < 0\). Ветви направлены вверх.

Значит знаменатель больше нуля при любом \(x\).

\(-3\left(x^{2} - x + 1\right) < x^{2} + rx - 2 < 2\left(x^{2} - x + 1\right),\)
\(\begin{cases} - 3x^{2} + 3x - 3 < x^{2} + rx - 2 \\ 2x^{2} - 2x + 2 > x^{2} + rx - 2\end{cases},\)
\(\begin{cases} - 4x^{2} + x(3 - r) - 1 < 0 \\ x^{2} - x(2 + r) + 4 > 0\end{cases},\)
\(\begin{cases}x^{2} - x(2 + r) + 4 > 0 \\ 4x^{2} - x(3 - r) + 1 > 0\end{cases}.\)

Чтобы оба неравенства выполнялись при любом \(x\), параболы не должны пересекать \(Ox(D < 0)\) и ветви должны быть направлены вверх \((a > 0)\):

\(\begin{cases}(2 + r)^{2} - 16 < 0 \\ (3 - r)^{2} - 16 < 0\end{cases},\)
\(\begin{cases}|2 + r| < 4 \\ |3 - r| < 4\end{cases},\)
\(\begin{cases} - 4 < 2 + r < 4 \\ -4 < 3 - r < 4\end{cases},\)
\(\begin{cases} - 6 < r < 2 \\ -1 < r < 7\end{cases}.\)

Ответ: \(r \in (-1; 2)\).