Страница 229 номер 790, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Найти все действительные значения \(r\), при которых уравнение \(x^2 + (4 + 2r)x + 5 + 4r = 0\) имеет: 1) действительные и равные корни; 2) действительные корни, равные по модулю, но противоположные по знаку.
1) \(D = 0\),
\(D = (4 + 2r)^{2} - 4(5 + 4r) = 0,\)
\(16 + 16r + 4r^{2} - 20 - 16r = 0,\)
\(4r^{2} - 4 = 0,\)
\(r = \pm 1\) – при этом уравнение имеет действительные и равные корни.
Ответ: \(r = \pm 1\);
2) \(D > 0\),
\(D = (4 + 2r)^{2} - 4(5 + 4r) = 4r^{2} - 4 > 0,\)
\(r^{2} > 1,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-(4 + 2r) \pm 2\sqrt{r^{2} - 1}}{2} = -2 - r \pm \sqrt{r^{2} - 1}.\)
Т.к. корни должны быть равны по модулю, но противоположны по знаку, то должно выполняться условие: \(x_{1} + x_{2} = 0\).
\(-2 - r + \sqrt{r^{2} - 1} - 2 - r - \sqrt{r^{2} - 1} = 0,\)
\(-4 - 2r = 0,\)
\(r = -2.\)
Ответ: \(r = -2\).
