Страница 86 номер 204, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3x + 4} = 3\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(\left(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3x + 4}\right)^{2} = 9\)

Разложим левую часть равенства по формуле квадрата суммы и упростим полученное выражение:

\(\left(\sqrt{2x + 1} + \sqrt{3x + 4}\right)^{2} =\)
\(= \left(\sqrt{2x + 1}\right)^{2} + 2\sqrt{2x + 1} \cdot \sqrt{3x + 4} + \left(\sqrt{3x + 4}\right)^{2} =\)
\(= 2x + 1 + 2\sqrt{\left(2x + 1\right)\left(3x + 4\right)} + 3x + 4 =\)
\(= 5x + 5 + 2\sqrt{\left(2x + 1\right)\left(3x + 4\right)} =\)
\(= 5x + 5 + 2 \cdot \sqrt{6x^{2} + 8x + 3x + 4} = 5x + 5 + 2\sqrt{6x^{2} + 11x + 4}\)
\(5x + 5 + 2\sqrt{6x^{2} + 11x + 4} = 9\)
\(2\sqrt{6x^{2} + 11x + 4} = 9 - 5 - 5x\)
\(2\sqrt{6x^{2} + 11x + 4} = 4 - 5x\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(\left(2\sqrt{6x^{2} + 11x + 4}\right)^{2} = \left(4 - 5x\right)^{2}\)
\(4 \cdot (6x^{2} + 11x + 4) = \left(4 - 5x\right)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата разности:

\((4 - 5x)^{2} = 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5x + (5x)^{2} = 16 - 40x + 25x^{2}\)
\(24x^{2} + 44x + 16 = 16 - 40x + 25x^{2}\)

Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:

\(24x^{2} + 44x + 16 - 16 + 40x - 25x^{2} = 0\)
\(84x - x^{2} = 0\)
\(x(84 - x) = 0\)
\(x_{1} = 0\) или \(84 - x = 0\)
\(x_{2} = 84\)

Проверим, являются ли найденные числа корнями уравнения:

а)

\(\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + \sqrt{3 \cdot 0 + 4} = 3\)
\(\sqrt{1} + \sqrt{4} = 3\)
\(1 + 2 = 3\) – верно

б)

\(\sqrt{2 \cdot 84 + 1} + \sqrt{3 \cdot 84 + 4} = 3\)
\(\sqrt{169} + \sqrt{256} = 3\)
\(13 + 16 = 3\) – неверно \(\Rightarrow x = 84\) – посторонний корень

Ответ: \(x = 0\)

2)

\(\sqrt{4x - 3} + \sqrt{5x + 4} = 4\)
\(\sqrt{4x - 3} = 4 - \sqrt{5x + 4}\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\({4x - 3 = \left(4 - \sqrt{5x + 4}\right)}^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата разности и упростим полученное выражение:

\(\left(4 - \sqrt{5x + 4}\right)^{2} = 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{5x + 4} + \left(\sqrt{5x + 4}\right)^{2} =\)
\(= 16 - 8\sqrt{5x + 4} + 5x + 4 = 5x + 20 - 8\sqrt{5x + 4}\)
\(4x - 3 = 5x + 20 - 8\sqrt{5x + 4}\)
\(8\sqrt{5x + 4} = 5x + 20 - 4x + 3\)
\(8\sqrt{5x + 4} = x + 23\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(64 \cdot \left(5x + 4\right) = \left(x + 23\right)^{2}\)
\(320x + 256 = \left(x + 23\right)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата суммы:

\((x + 23)^{2} = x^{2} + 2 \cdot 23x + 23^{2} = x^{2} + 46x + 529\)
\(320x + 256 = x^{2} + 46x + 529\)

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\(x^{2} + 46x - 320x + 529 - 256 = 0\)
\(x^{2} - 274x + 273 = 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета (так как а = 1), найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = 273 \\ x_{1} + x_{2} = 274\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = 273 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)

а)

\(\sqrt{4 \cdot 1 - 3} + \sqrt{5 \cdot 1 + 4} = 4\)
\(\sqrt{1} + \sqrt{9} = 4\)
\(1 + 3 = 4\) – верно

б)

\(\sqrt{4 \cdot 273 - 3} + \sqrt{5 \cdot 273 + 4} = 4\)
\(33 + 37 = 4\) – неверно \(\Rightarrow x = 273\) – посторонний корень

Ответ: \(x = 1\)

3)

\(\sqrt{x - 7} - \sqrt{x + 17} = -4\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(\left(\sqrt{x - 7} - \sqrt{x + 17}\right)^{2} = 16\)

Разложим левую часть равенства по формуле квадрата разности и упростим полученное выражение:

\(\left(\sqrt{x - 7} - \sqrt{x + 17}\right)^{2} =\)
\(= \left(\sqrt{x - 7}\right)^{2} - 2\sqrt{x - 7} \cdot \sqrt{x + 17} + \left(\sqrt{x + 17}\right)^{2} =\)
\(= x - 7 - 2\sqrt{\left(x - 7\right)\left(x + 17\right)} + x + 17 =\)
\(= 2x + 10 - 2\sqrt{\left(x - 7\right)\left(x + 17\right)} =\)
\(= 2x + 10 - 2\sqrt{x^{2} + 17x - 7x - 119} =\)
\(= 2x + 10 - 2 \cdot \sqrt{x^{2} + 10x - 119}\)
\(2x + 10 - 2\sqrt{x^{2} + 10x - 119} = 16\)
\(2\sqrt{x^{2} + 10x - 119} = -16 + 2x + 10\)
\(2\sqrt{x^{2} + 10x - 119} = 2x - 6| : 2\)
\(\sqrt{x^{2} + 10x - 119} = x - 3\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(x^{2} + 10x - 119 = (x - 3)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата разности:

\((x - 3)^{2} = x^{2} - 6x + 9\)
\(x^{2} + 10x - 119 = x^{2} - 6x + 9\)

Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:

\(x^{2} + 10x - 119 - x^{2} + 6x - 9 = 0\)
\(16x = 128\)
\(x = \dfrac{128}{16} = 8\)

Сделаем проверку:

\(\sqrt{8 - 7} - \sqrt{8 + 17} = -4\)
\(\sqrt{1} - \sqrt{25} = -4\)
\(1 - 5 = -4\)
\(-4 = -4\) – верно

Ответ: \(x = 8\)

4)

\(\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1\)
\(\sqrt{x + 4} = 1 + \sqrt{x - 1}\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\({x + 4 = \left(1 + \sqrt{x - 1}\right)}^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата суммы и упростим полученное выражение:

\(\left(1 + \sqrt{x - 1}\right)^{2} = 1^{2} + 2\sqrt{x - 1} + \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} =\)
\(= 1 + 2\sqrt{x - 1} + x - 1 = x + 2\sqrt{x - 1}\)
\(x + 4 = x + 2\sqrt{x - 1}\)

Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:

\(2\sqrt{x - 1} = 4| : 2\)
\(\sqrt{x - 1} = 2\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(x - 1 = 4\)
\(x = 5\)

Сделаем проверку:

\(\sqrt{5 + 4} = 1 + \sqrt{5 - 1}\)
\(\sqrt{9} = 1 + \sqrt{4}\)
\(3 = 3\) – верно

Ответ: \(x = 5\)