Страница 88 номер 222, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\sqrt{2x^{2} + 5x - 3} = x + 1\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(2x^{2} + 5x - 3 = \left(x + 1\right)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата суммы:

\(\left(x + 1\right)^{2} = x^{2} + 2x + 1\)

Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:

\(2x^{2} + 5x - 3 - x^{2} - 2x - 1 = 0\)
\(x^{2} + 3x - 4 = 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -4 \\ x_{1} + x_{2} = -3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -4 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{2 \cdot (-4)^{2} + 5 \cdot (-4) - 3} = -4 + 1\)
\(\sqrt{2 \cdot 16 - 20 - 3} = -4 + 1\)
\(\sqrt{32 - 23} = -4 + 1\)
\(\sqrt{9} = -3\) – неверно, так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, а, значит, \(x = -4\) – посторонний корень

б)

\(\sqrt{2 \cdot (1)^{2} + 5 \cdot (1) - 3} = 1 + 1\)
\(\sqrt{2 + 5 - 3} = 2\)
\(\sqrt{7 - 3} = 2\)
\(\sqrt{4} = 2\)
\(2 = 2\) – верно

Ответ: \(x = 1\)

2)

\(\sqrt{3x^{2} - 4x + 2} = x + 4\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(3x^{2} - 4x + 2 = \left(x + 4\right)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата суммы:

\(\left(x + 4\right)^{2} = x^{2} + 8x + 16\)
\(3x^{2} - 4x + 2 = x^{2} + 8x + 16\)

Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:

\(3x^{2} - 4x + 2 - x^{2} - 8x - 16 = 0\)
\(2x^{2} - 12x - 14 = 0| : 2\)
\(x^{2} - 6x - 7 = 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -7 \\ x_{1} + x_{2} = 6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = 7 \\ x_{2} = -1\end{cases}\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{3 \cdot (7)^{2} - 4 \cdot \left(7\right) + 2} = 7 + 4\)
\(\sqrt{3 \cdot 49 - 28 + 2} = 11\)
\(\sqrt{147 - 28 + 2} = 11\)
\(\sqrt{121} = 11\)
\(11 = 11\) – верно

б)

\(\sqrt{3 \cdot (-1)^{2} - 4 \cdot \left(-1\right) + 2} = -1 + 4\)
\(\sqrt{3 + 4 + 2} = 3\)
\(\sqrt{9} = 3\)
\(3 = 3\) – верно

Ответ: \(x_{1} = 7\), \(x_{2} = -1\)

3)

\(\sqrt{x + 3} + \sqrt{2x - 3} = 6\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(\left(\sqrt{x + 3} + \sqrt{2x - 3}\right)^{2} = 36\)

Разложим левую часть равенства по формуле квадрата суммы:

\(\left(\sqrt{x + 3} + \sqrt{2x - 3}\right)^{2} =\)
\(= \left(\sqrt{x + 3}\right)^{2} + 2\sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{2x - 3} + \left(\sqrt{2x - 3}\right)^{2} =\)
\(= x + 3 + 2\sqrt{\left(x + 3\right)\left(2x - 3\right)} + 2x - 3 =\)
\(= 3x + 2 \cdot \sqrt{2x^{2} - 3x + 6x - 9} =\)
\(= 3x + 2\sqrt{2x^{2} + 3x - 9}\)
\(3x + 2\sqrt{2x^{2} + 3x - 9} = 36\)
\(2\sqrt{2x^{2} + 3x - 9} = 36 - 3x\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(4(2x^{2} + 3x - 9) = (36 - 3x)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата разности:

\((36 - 3x)^{2} = 1296 - 2 \cdot 36 \cdot 3x + 9x^{2} = 1296 - 216x + 9x^{2}\)
\(4(2x^{2} + 3x - 9) = 1296 - 216x + 9x^{2}\)

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\(8x^{2} + 12x - 36 - 1296 + 216x - 9x^{2} = 0\)
\(x^{2} - 228x + 1332 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 51984 - 4 \cdot 1332 = 46656\)
\(\sqrt{D} = 216\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1} = \dfrac{228 - 216}{2} = \dfrac{12}{2} = 6\)
\(x_{2} = \dfrac{228 + 216}{2} = \dfrac{444}{2} = 222\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{6 + 3} + \sqrt{2 \cdot 6 - 3} = 6\)
\(\sqrt{9} + \sqrt{12 - 3} = 6\)
\(\sqrt{9} + \sqrt{9} = 6\)
\(3 + 3 = 6\)
\(6 = 6\) – верно

б)

\(\sqrt{222 + 3} + \sqrt{2 \cdot 222 - 3} = 6\)
\(\sqrt{225} + \sqrt{441} = 6\)
\(15 + 21 = 6\)
\(36 \neq 6 \Rightarrow x = 222\) – посторонний корень

Ответ: \(x = 6\)

4)

\(\sqrt{7 - x} + \sqrt{3x - 5} = 4\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(\left(\sqrt{7 - x} + \sqrt{3x - 5}\right)^{2} = 16\)

Разложим левую часть равенства по формуле квадрата суммы:

\(\left(\sqrt{7 - x} + \sqrt{3x - 5}\right)^{2} =\)
\(= \left(\sqrt{7 - x}\right)^{2} + 2\sqrt{7 - x} \cdot \sqrt{3x - 5} + \left(\sqrt{3x - 5}\right)^{2} =\)
\(= 7 - x + 2\sqrt{\left(7 - x\right)\left(3x - 5\right)} + 3x - 5 =\)
\(= 2x + 2 + 2\sqrt{(7 - x)(3x - 5)} =\)
\(= 2x + 2 + 2\sqrt{21x - 35 - 3x^{2} + 5x} = 2x + 2 + 2\sqrt{26x - 35 - 3x^{2}}\)
\(2x + 2 + 2\sqrt{26x - 35 - 3x^{2}} = 16\)
\(2\sqrt{26x - 35 - 3x^{2}} = 16 - 2x - 2\)
\(2\sqrt{26x - 35 - 3x^{2}} = 14 - 2x| : 2\)
\(\sqrt{26x - 35 - 3x^{2}} = 7 - x\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(26x - 35 - 3x^{2} = (7 - x)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата разности:

\((7 - x)^{2} = 49 - 2 \cdot 7x + x^{2} = 49 - 14x + x^{2}\)
\(26x - 35 - 3x^{2} = 49 - 14x + x^{2}\)

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\(49 - 14x + x^{2} + 3x^{2} + 35 - 26x = 0\)
\(4x^{2} - 40x + 84 = 0| : 4\)
\(x^{2} - 10x + 21 = 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = 21 \\ x_{1} + x_{2} = 10\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = 7 \\ x_{2} = 3\end{cases}\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{7 - 3} + \sqrt{3 \cdot 3 - 5} = 4\)
\(\sqrt{4} + \sqrt{4} = 4\)
\(2 + 2 = 4\)
\(4 = 4\) – верно

б)

\(\sqrt{7 - 7} + \sqrt{3 \cdot 7 - 5} = 4\)
\(\sqrt{21 - 5} = 4\)
\(\sqrt{16} = 4\)
\(4 = 4\) – верно

Ответ: \(x_{1} = 7\), \(x_{2} = 3\)