Страница 87 номер 215, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\sqrt{3 - x} = 2\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(3 - x = 4\)
\(-x = 4 - 3 = 1\)
\(x = -1\)

Сделаем проверку:

\(\sqrt{3 - (-1)} = 2\)
\(\sqrt{4} = 2\)
\(2 = 2\) – верно

Ответ: \(x = -1\)

2)

\(\sqrt{3x + 1} = 7\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(3x + 1 = 49\)
\(3x = 48\)
\(x = 16\)

Сделаем проверку:

\(\sqrt{3 \cdot 16 + 1} = 7\)
\(\sqrt{49} = 7\)
\(7 = 7\) – верно

Ответ: \(x = 16\)

3)

\(\sqrt{3 - 11x} = 2x\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(3 - 11x = 4x^{2}\)

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\(4x^{2} + 11x - 3 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 121 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\)
\(\sqrt{D} = 13\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1} = \dfrac{-11 + 13}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\)
\(x_{2} = \dfrac{-11 - 13}{8} = -\dfrac{24}{8} = -3\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{3 - \dfrac{11}{4}} = \dfrac{2}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{12}{4} - \dfrac{11}{4}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) – верно

б)

\(\sqrt{3 - 11 \cdot \left(-3\right)} = 2 \cdot \left(-3\right)\)
\(\sqrt{3 + 33} = -6\)
\(\sqrt{36} = -6\) – неверно, так как арифметический корень не может быть числом отрицательным, то есть \(x = -3\) – посторонний корень

Ответ: \(x = \frac{1}{4}\)

4)

\(\sqrt{5x - 1 + 3x^{2}} = 3x\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(5x - 1 + 3x^{2} = 9x^{2}\)

Приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

\(9x^{2} - 3x^{2} - 5x + 1 = 0\)
\(6x^{2} - 5x + 1 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 25 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1\)
\(\sqrt{D} = 1\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1} = \dfrac{5 + 1}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
\(x_{2} = \dfrac{5 - 1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{5 \cdot \dfrac{1}{2} - 1 + 3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}} = 3 \cdot \dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{2} - \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{3}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{10}{4} - \dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{3}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}\)
\(\frac{3}{2} = \frac{3}{2}\) – верно

б)

\(\sqrt{5 \cdot \dfrac{1}{3} - 1 + 3 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}} = 3 \cdot \dfrac{1}{3}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{3} - \dfrac{3}{3} + \dfrac{1}{3}} = 1\)
\(\sqrt{\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}} = 1\)
\(\sqrt{\dfrac{3}{3}} = 1\)
\(\sqrt{1} = 1\) – верно

Ответ: \(x_{1} = \frac{1}{2}\), \(x_{2} = \frac{1}{3}\)

5)

\(\sqrt{2x - 1} = x - 2\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(2x - 1 = (x - 2)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата разности:

\((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\)
\(2x - 1 = x^{2} - 4x + 4\)

Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:

\(x^{2} - 4x + 4 - 2x + 1 = 0\)
\(x^{2} - 6x + 5 = 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета (так как а = 1), найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = 5 \\ x_{1} + x_{2} = 6\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = 5 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{2 \cdot 5 - 1} = 5 - 2\)
\(\sqrt{10 - 1} = 3\)
\(\sqrt{9} = 3\)
\(3 = 3\) – верное

б)

\(\sqrt{2 \cdot 1 - 1} = 1 - 2\)
\(\sqrt{1} = -1\) – неверно, так как арифметический корень не может быть числом отрицательным, то есть \(x = 1\) – посторонний корень

Ответ: \(x = 5\)

6)

\(\sqrt{2 - 2x} = x + 3\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(2 - 2x = (x + 3)^{2}\)

Разложим правую часть равенства по формуле квадрата суммы:

\((x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9\)
\(2 - 2x = x^{2} + 6x + 9\)

Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:

\(x^{2} + 6x + 9 + 2x - 2 = 0\)
\(x^{2} + 8x + 7 = 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета (так как а = 1), найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = 7 \\ x_{1} + x_{2} = -8\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -7 \\ x_{2} = -1\end{cases}\)

Сделаем проверку:

а)

\(\sqrt{2 - 2 \cdot (-7)} = -7 + 3\)
\(\sqrt{2 + 14} = -4\)
\(\sqrt{16} = -4\) – неверно, так как арифметический корень не может быть числом отрицательным, то есть \(x = -7\) – посторонний корень

б)

\(\sqrt{2 - 2 \cdot (-1)} = -1 + 3\)
\(\sqrt{2 + 2} = 2\)
\(\sqrt{4} = 2\)
\(2 = 2\) – верно

Ответ: \(x = -1\)