Страница 88 номер 221, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\sqrt{x^{2} - 3x} < 2\)

О.Д.З.Н: \(x^{2} - 3x \geqslant 0\)

\(x(x - 3) \geqslant 0\)

Левая часть неравенства обращается в 0 в точках 0 и 3

Отметим данные точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 3 интервала, на каждом из которых \(f(x) = x(x - 3)\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки, на которых \(f(x) \geqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

\(x \leqslant 0; \ x \geqslant 3\)

Возведем исходное неравенство в квадрат:

\(x^{2} - 3x < 4\)
\(x^{2} - 3x - 4 < 0\)

Найдем значения \(x\), при которых квадратный трехчлен, находящийся в левой части неравенства, обращается в 0:

\(x^{2} - 3x - 4 = 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -4 \\ x_{1} + x_{2} = 3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = 4 \\ x_{2} = -1\end{cases}\)

Левая часть неравенства обращается в 0 в точках 4 и \(-1\)

Отметим данные точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 3 интервала, на каждом из которых \(f(x) = x^{2} - 3x - 4\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки, на которых \(f(x) < 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

\(x \in (-1; 4)\)

Учтем область допустимых значений функции и получим:

\(x \in (-1; 0] \cup [3; 4)\)

Ответ: \(x \in (-1; 0] \cup [3; 4)\)

2)

\(\sqrt{2x + 1} \leqslant x - 1\)

Неравенство имеет смысл при \(2x + 1 \geqslant 0\) и может выполняться только при \(x - 1 \geqslant 0\), так как \(\sqrt{2x + 1} \geqslant 0\):

\(2x + 1 \geqslant 0\) и \(x - 1 \geqslant 0\)
\(2x \geqslant -1 \qquad x \geqslant 1\)
\(x \geqslant - \dfrac{1}{2}\)

Следовательно, \(x \geqslant 1\)

Возведем обе части неравенства в квадрат:

\(2x + 1 \leqslant (x - 1)^{2}\)

Разложим правую часть неравенства по формуле квадрата разности:

\((x - 1)^{2} = x^{2} - 2x + 1\)
\(2x + 1 \leqslant x^{2} - 2x + 1\)

Приведем подобные члены и запишем неравенство в виде:

\(x^{2} - 2x + 1 - 1 - 2x \geqslant 0\)
\(x^{2} - 4x \geqslant 0\)
\(x(x - 4) \geqslant 0\)

Левая часть неравенства обращается в 0 в точках 0 и 4

Отметим данные точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 3 интервала, на каждом из которых \(f(x) = x(x - 4)\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки, на которых \(f(x) \geqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

\(x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty\))

Учтем условие \(x \geqslant 1\) и получим:

\(x \in [4; +\infty\))

Ответ: \(x \in [4; +\infty\))