Страница 87 номер 213, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(y = x^{2}\), \(y = x^{3}\)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, приравняем друг к другу правые части уравнений:

\(x^{2} = x^{3}\)
\(x^{2} - x^{3} = 0\)
\(x^{2}(1 - x) = 0\)
\(x^{2} = 0\) или \(1 - x = 0\)
\(x_{1} = 0 \qquad x_{2} = 1\)
\(y_{1} = 0^{2} = 0\), \(y_{2} = 1^{2} = 1\)

Ответ: \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\)

2) \(y = \frac{1}{x}\), \(y = 2x\)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, приравняем друг к другу правые части уравнений:

\(\dfrac{1}{x} = 2x| \cdot x\)
\(1 = 2x^{2}\)
\(x^{2} = \dfrac{1}{2}\)
\(x_{1{,}2} = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(y_{1{,}2} = 2 \cdot \left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \pm \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}\)

Ответ: \(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}};\ -\sqrt{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\ \sqrt{2}\right)\)

3) \(y = \sqrt{x}\), \(y = |x|\)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, приравняем друг к другу правые части уравнений:

\(\sqrt{x} = |x|\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(x = x^{2}\)
\(x - x^{2} = 0\)
\(x(1 - x) = 0\)
\(x_{1} = 0\) или \(1 - x = 0\)
\(x_{2} = 1\)

Сделаем проверку:

\(\sqrt{0} = |0|\), \(0 = 0\) – верно
\(\sqrt{1} = |1|\), \(1 = 1\) – верно

Ответ: \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\)

4)

\(y = \sqrt[3]{x}, y = \dfrac{1}{x}\)

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, приравняем друг к другу правые части уравнений:

\(\sqrt[3]{x} = \dfrac{1}{x}\)

Возведем обе части уравнения в куб:

\(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{3} = \left(\dfrac{1}{x}\right)^{3}\)
\(x = \dfrac{1}{x^{3}}\)
\(x^{3} \cdot x = 1\)
\(x^{4} = 1\)
\(x_{1{,}2} = \pm 1\)
\(y_{1{,}2} = \dfrac{1}{\pm 1} = \pm 1\)

Ответ: \((-1;\ -1)\), \((1;\ 1)\)