Страница 86 номер 206, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1)

\(\sqrt{x - 2} > 3\)

Функция \(y = \left(x - 2\right)^{\frac{1}{2}}\left(r = \frac{1}{2} > 0\right)\) определена и возрастает при \(x \geqslant 2\)

О.О.Ф: \(\begin{cases}x - 2 \geqslant 0 \\ x \geqslant 2\end{cases}\)

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части исходного неравенства в квадрат:

\(x - 2 > 9\)
\(x > 9 + 2\)
\(x > 11\)

Решением данного неравенства будет открытый луч : \(x \in (11; +\infty)\)

Ответ: \(x \in (11; +\infty)\)

2)

\(\sqrt{x - 2} \leqslant 1\)

Функция \(y = \left(x - 2\right)^{\frac{1}{2}}\left(r = \frac{1}{2} > 0\right)\) определена и возрастает при \(x \geqslant 2\)

О.О.Ф: \(\begin{cases}x - 2 \geqslant 0 \\ x \geqslant 2\end{cases}\)

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части исходного неравенства в квадрат:

\(x - 2 \leqslant 1\)
\(x \leqslant 1 + 2\)
\(x \leqslant 3\)

Решением данного неравенства будет числовой промежуток: \(x \in [2; 3]\)

Ответ: \(x \in [2; 3]\)

3)

\(\sqrt{2 - x} \geqslant x\)

О.О.Ф: \(\begin{cases}2 - x \geqslant 0 \\ x \leqslant 2\end{cases}\)

При \(x < 0\) неравенство верно, так как \(\sqrt{2 - x} \geqslant 0 > x\). Пусть \(0 \leqslant x \leqslant 2\), тогда обе части неравенства неотрицательны

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части исходного неравенства в квадрат:

\(2 - x \geqslant x^{2}\)
\(x^{2} + x - 2 \leqslant 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

\(x^{2} + x - 2 = 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета (так как а = 1), найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -2 \\ x_{1} + x_{2} = -1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -2 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)

Таким образом, \((x^{2} + x - 2)\) обращается в 0 в точках \(-2\) и 1

Отметим эти точки на числовой прямой \(OX\). Указанная числовая прямая разбивается данными точками на 3 интервала, на каждом из которых \({f(x) = (x^{2} + x - 2)}\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки на которых \(f(x) \leqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

Учтем, что \(0 \leqslant x \leqslant 2\), тогда: \(x \in [0; 1]\). Вместе с \(x < 0\) получаем: \({x \in (-\infty; 1]}\)

Ответ: \({x \in (-\infty; 1]}\)

4)

\(\sqrt{2 - x} < x\)

О.О.Ф: \(\begin{cases}2 - x \geqslant 0 \\ x \leqslant 2\end{cases}\)

Так как \(\sqrt{2 - x} \geqslant 0\), то неравенство может выполняться только при \(x > 0\). Пусть \(0 < x \leqslant 2\), тогда обе части неравенства неотрицательны

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части исходного неравенства в квадрат:

\(2 - x < x^{2}\)
\(x^{2} + x - 2 > 0\)

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

\(x^{2} + x - 2 = 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета (так как а = 1), найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -2 \\ x_{1} + x_{2} = -1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -2 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)

Таким образом, \((x^{2} + x - 2)\) обращается в 0 в точках \(-2\) и 1

Отметим эти точки на числовой прямой \(OX\). Указанная числовая прямая разбивается данными точками на 3 интервала, на каждом из которых \({f(x) = (x^{2} + x - 2)}\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки на которых \(f(x) > 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

Учтем, что \(0 < x \leqslant 2\), тогда: \(x \in (1; 2]\)

Ответ: \(x \in (1; 2]\)

5)

\(\sqrt{5x + 11} > x + 3\)

О.О.Ф: \(\begin{cases}5x + 11 \geqslant 0 \\ 5x \geqslant - 11\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}5x + 11 \geqslant 0 \\ x \geqslant - \frac{11}{5} = -2\frac{1}{5}\end{cases}\)

При \(x \geqslant -2\frac{1}{5}\) правая часть \(x + 3 \geqslant \frac{4}{5} > 0\), то есть обе части неравенства неотрицательны

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части исходного неравенства в квадрат:

\(5x + 11 > (x + 3)^{2}\)

Разложим правую часть неравенства по формуле квадрата суммы:

\((x + 3)^{2} = x^{2} + 6x + 9\)
\(5x + 11 > x^{2} + 6x + 9\)

Приведем подобные члены и запишем неравенство в виде:

\(x^{2} + 6x + 9 - 5x - 11 < 0\)
\(x^{2} + x - 2 < 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета (так как а = 1), найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -2 \\ x_{1} + x_{2} = -1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -2 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)

Таким образом, \((x^{2} + x - 2)\) обращается в 0 в точках \(-2\) и 1

Отметим эти точки на числовой прямой \(OX\). Указанная числовая прямая разбивается данными точками на 3 интервала, на каждом из которых \({f(x) = (x^{2} + x - 2)}\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки на которых \(f(x) < 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

Ответ: \(x \in (-2; 1)\)

6)

\(\sqrt{x + 3} \leqslant x + 1\)

О.О.Ф: \(\begin{cases}x + 3 \geqslant 0 \\ x \geqslant - 3\end{cases}\)

Так как \(\sqrt{x + 3} \geqslant 0\), то неравенство может выполняться только при \(x + 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\). Тогда обе части неравенства неотрицательны

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части исходного неравенства в квадрат:

\(x + 3 \leqslant (x + 1)^{2}\)

Разложим правую часть неравенства по формуле квадрата суммы:

\((x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1\)
\(x + 3 \leqslant x^{2} + 2x + 1\)

Приведем подобные члены и запишем неравенство в виде:

\(x^{2} + 2x + 1 - x - 3 \geqslant 0\)
\(x^{2} + x - 2 \geqslant 0\)

Воспользовавшись теоремой Виета (так как а = 1), найдем корни данного квадратного уравнения:

\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -2 \\ x_{1} + x_{2} = -1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -2 \\ x_{2} = 1\end{cases}\)

Таким образом, \((x^{2} + x - 2)\) обращается в 0 в точках \(-2\) и 1

Отметим эти точки на числовой прямой \(OX\). Указанная числовая прямая разбивается данными точками на 3 интервала, на каждом из которых \({f(x) = (x^{2} + x - 2)}\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки на которых \(f(x) \geqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

Учтем, что \(x \geqslant -1\), тогда: \(x \in [1; +\infty)\)

Ответ: \(x \in [1; +\infty)\)