Страница 86 номер 203, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Решить уравнение (202—204). 1) \(\sqrt{x + 12} = 2 + \sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{4 + x} + \sqrt{x} = 4\).
1)
\(\sqrt{x + 12} = 2 + \sqrt{x}\)
\(\sqrt{x + 12} - \sqrt{x} = 2\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(\left(\sqrt{x + 12} - \sqrt{x}\right)^{2} = 4\)
Разложим левую часть равенства по формуле квадрата разности:
\(\left(\sqrt{x + 12} - \sqrt{x}\right)^{2} = \left(\sqrt{x + 12}\right)^{2} - 2 \cdot \sqrt{x + 12} \cdot \sqrt{x} + \left(\sqrt{x}\right)^{2} =\)
\(= x + 12 - 2\sqrt{\left(x + 12\right) \cdot x} + x = 2x + 12 - 2\sqrt{x^{2} + 12x}\)
Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:
\(2x + 12 - 2\sqrt{x^{2} + 12x} = 4\)
\(-2\sqrt{x^{2} + 12x} = 4 - 2x - 12| \cdot (-1)\)
\(2\sqrt{x^{2} + 12x} = 2x + 12 - 4| : 2\)
\(\sqrt{x^{2} + 12x} = x + 6 - 2\)
\(\sqrt{x^{2} + 12x} = x + 4\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(x^{2} + 12x = \left(x + 4\right)^{2}\)
Разложим правую часть равенства по формуле квадрата суммы:
\(x^{2} + 12x = x^{2} + 8x + 16\)
\(12x - 8x = 16\)
\(4x = 16\), \(x = 16 : 4 = 4\)
Проверим, является ли найденное число корнем уравнения:
\(\sqrt{4 + 12} = 2 + \sqrt{4}\)
\(\sqrt{16} = 2 + 2\)
\(4 = 4\) – верно
Ответ: \(x = 4\)
2)
\(\sqrt{4 + x} + \sqrt{x} = 4\)
\(\sqrt{4 + x} = 4 - \sqrt{x}\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(\left(\sqrt{4 + x}\right)^{2} = \left(4 - \sqrt{x}\right)^{2}\)
\(4 + x = (4 - \sqrt{x})^{2}\)
Разложим правую часть равенства по формуле квадрата разности:
\(4 + x = 16 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{x} + x\)
\(4 + x = 16 - 8\sqrt{x} + x\)
\(8\sqrt{x} = 16 - 4\)
\(8\sqrt{x} = 12\)
\(\sqrt{x} = \dfrac{12}{8}\)
\(\sqrt{x} = \dfrac{3}{2}\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(x = \dfrac{9}{4} = 2{,}25\)
Проверим, является ли найденное число корнем уравнения:
\(\sqrt{4 + \dfrac{9}{4}} = 4 - \sqrt{\dfrac{9}{4}}\)
\(\sqrt{\dfrac{16}{4} + \dfrac{9}{4}} = 4 - \dfrac{3}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{16}{4} - \dfrac{6}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2}\)
\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2} - \text{ верно}\)
Ответ: \(x = \frac{9}{4} = 2{,}25\)
