Страница 85 номер 192, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(x^{7} > 1\)

Функция \(y = x^{7}\) определена и возрастает при всех действительных значениях \(x\)

Уравнение \(x^{7} = 1\) имеет единственный корень

\(x = 1^{\frac{1}{7}}\)
\(x = 1\)
\(y(1) = 1 \Rightarrow y(x) > 1\) при \(x > 1\)

2) \(x^{3} \leqslant 27\)

Функция \(y = x^{3}\) определена и возрастает при всех действительных значениях \(x\)

Уравнение \(x^{3} = 27\) имеет единственный положительный корень

\(x = 27^{\frac{1}{3}}\)
\(x = \sqrt[3]{27}\)
\(x = \sqrt[3]{3^{3}}\)
\(x = 3\)
\(y(3) = 27 \Rightarrow y(x) \leqslant 27\) при \(x \leqslant 3\)

3) \(y^{3} \geqslant 64\)

Функция \(f(y) = y^{3}\) определена и возрастает при всех действительных значениях \(y\)

Уравнение \(y^{3} = 64\) имеет единственный положительный корень

\(y = 64^{\frac{1}{3}}\)
\(y = \sqrt[3]{64}\)
\(y = \sqrt[3]{4^{3}}\)
\(y = 4\)
\(f(4) = 64 \Rightarrow f(y) \geqslant 64\) при \(y \geqslant 4\)

4) \(y^{3} < 125\)

Функция \(f(y) = y^{3}\) определена и возрастает при всех действительных значениях \(y\)

Уравнение \(y^{3} = 125\) имеет единственный положительный корень

\(y = 125^{\frac{1}{3}}\)
\(y = \left(5^{3}\right)^{\frac{1}{3}}\)
\(y = 5\)
\(f(5) = 125 \Rightarrow f(y) < 125\) при \(y < 5\)

5) \(x^{4} \leqslant 16\)

Функция \(y = x^{4}\) возрастает при \(x \geqslant 0\) и убывает при \(x \leqslant 0\)

Уравнение \(x^{4} = 16\) имеет два действительных корня

\(x = \pm \sqrt[4]{16}\)
\(x_{1} = 2\), \(x_{2} = -2\)

Таким образом, данное неравенство имеет следующие решения:

При \(x \geqslant 0 : 0 \leqslant x \leqslant 2\)

При \(x \leqslant 0 : -2 \leqslant x \leqslant 0\)

Ответ: \(-2 \leqslant x \leqslant 2\)

6) \(x^{4} > 625\)

Функция \(y = x^{4}\) возрастает при \(x \geqslant 0\) и убывает при \(x \leqslant 0\)

Уравнение \(x^{4} = 625\) имеет два действительных корня

\(x = \pm \sqrt[4]{625}\)
\(x_{1} = 5\), \(x_{2} = -5\)

Таким образом, данное неравенство имеет следующие решения:

При \(x \geqslant 0 : x > 5\)

При \(x \leqslant 0 : x < -5\)

Ответ: \(x < -5\), \(x > 5\)