Страница 88 номер 217, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Выяснить, возрастает или убывает функция: 1) \(y = \frac{1}{(x - 3)^2}\) на промежутке \((3;\ +\infty)\); 2) \(y = \frac{1}{(x - 2)^3}\) на промежутке \((-\infty;\ 2)\); 3) \(y = \sqrt[3]{x + 1}\) на промежутке \([0;\ +\infty)\); 4) \(y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}}\) на промежутке \((-\infty;\ -1)\).
1) \(y = \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}\) на промежутке (3; +∞)
Возьмем два произвольных значения переменной \(x\), принадлежащих числовому промежутку (3; +∞)
Пусть \(3 < x_{1} < x_{2}\)
\(y(x_{1}) = \dfrac{1}{\left(x_{1} - 3\right)^{2}}\)
\(y(x_{2}) = \dfrac{1}{\left(x_{2} - 3\right)^{2}}\)
Так как \(0 < x_{1} - 3 < x_{2} - 3\), то \(\left(x_{1} - 3\right)^{2} < \left(x_{2} - 3\right)^{2}\) и \(y(x_{1}) > y(x_{2})\) при \(x_{1} < x_{2}\)
Отсюда следует, что данная функция убывает на промежутке (3; +∞)
2) \(y = \frac{1}{\left(x - 2\right)^{3}}\) на промежутке (–∞;2)
Возьмем два произвольных значения переменной \(x\), принадлежащих числовому промежутку (–∞; 2)
Пусть \(x_{1} < x_{2} < 2\)
\(y(x_{1}) = \dfrac{1}{\left(x_{1} - 2\right)^{3}}\)
\(y(x_{2}) = \dfrac{1}{\left(x_{2} - 2\right)^{3}}\)
Так как \({x_{1} - 2 < x_{2} - 2 < 0}\), то \({\left(x_{1} - 2\right)^{3} < \left(x_{2} - 2\right)^{3} < 0}\) и \({y(x_{1}) > y(x_{2})}\) при \(x_{1} < x_{2}\)
Отсюда следует, что данная функция убывает на промежутке (–∞;2)
3) \(y = \sqrt[3]{x + 1}\) на промежутке [0; + ∞)
Возьмем два произвольных значения переменной \(x\), принадлежащих числовому промежутку [0; +∞)
Пусть \(0 \leqslant x_{1} < x_{2}\)
\(y(x_{1}) = \sqrt[3]{x_{1} + 1}\)
\(y(x_{2}) = \sqrt[3]{x_{2} + 1}\)
Сравним числа \(\sqrt[3]{x_{1} + 1}\) и \(\sqrt[3]{x_{2} + 1}\)
\[\left\{\begin{array}{r}1 \leqslant x_{1} + 1 < x_{2} + 1 \\ \frac{1}{3} > 0\end{array} \Rightarrow \sqrt[3]{x_{1} + 1} < \sqrt[3]{x_{2} + 1}\right.\]
Так как \(y(x_{1}) < y(x_{2})\) при \(x_{1} < x_{2}\), то данная функция возрастает на промежутке [0; + ∞)
4) \(y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1}}\) на промежутке \((-\infty; -1)\)
Возьмем два произвольных значения переменной \(x\), принадлежащих числовому промежутку (–∞; – 1)
Пусть \(x_{1} < x_{2} < -1\)
\(y(x_{1}) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x_{1} + 1}}\)
\(y(x_{2}) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x_{2} + 1}}\)
Так как \(x_{1} + 1 < x_{2} + 1 < 0\), то \(\sqrt[3]{x_{1} + 1} < \sqrt[3]{x_{2} + 1} < 0\) и \(y(x_{1}) > y(x_{2})\) при \(x_{1} < x_{2}\)
Отсюда следует, что данная функция убывает на промежутке \((-\infty; -1)\)
