Страница 91 номер 226, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Последовательность задана формулой \(a_n = n^2 - 2n - 6\). Является ли членом этой последовательности число: 1) \(-3\); 2) \(2\); 3) \(3\); 4) \(9\)?
1) Если число \((-3)\) является членом последовательности с номером \(n\), то:
\(a_{n} = -3\), \(n^{2} - 2n - 6 = -3\)
\(n^{2} - 2n - 6 + 3 = 0\)
\(n^{2} - 2n - 3 = 0\)
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета
\(\begin{cases}n_{1} \cdot n_{2} = -3 \\ n_{1} + n_{2} = 2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}n_{1} = 3 \\ n_{2} = -1\end{cases}\)
\(n = -1\) – не подходит, так как \(n\) должно быть числом натуральным
\(-3\) – член последовательности под номером 3
(\(a_{3} = -3\))
2) Если число 2 является членом последовательности с номером \(n\), то:
\(a_{n} = 2\), \(n^{2} - 2n - 6 = 2\)
\(n^{2} - 2n - 6 - 2 = 0\)
\(n^{2} - 2n - 8 = 0\)
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета
\(\begin{cases}n_{1} \cdot n_{2} = -8 \\ n_{1} + n_{2} = 2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}n_{1} = 4 \\ n_{2} = -2\end{cases}\)
\(n = -2\) – не подходит, так как \(n\) должно быть числом натуральным
2 – член последовательности под номером 4
(\(a_{4} = 2\))
3) Если число 3 является членом последовательности с номером \(n\), то:
\(a_{n} = 3\), \(n^{2} - 2n - 6 = 3\)
\(n^{2} - 2n - 6 - 3 = 0\)
\(n^{2} - 2n - 9 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 4 + 4 \cdot 9 = 40\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{40}\)
\(n_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{2 \pm \sqrt{40}}{2}\)
\(n_{1} \approx 4{,}16\);
\(n_{2} \approx -2{,}16 \Rightarrow\) не подходят оба корня, так как \(n\) должно быть числом натуральным.
Число 3 не является членом последовательности
4) Если число 9 является членом последовательности с номером \(n\), то:
\(a_{n} = 9\), \(n^{2} - 2n - 6 = 9\)
\(n^{2} - 2n - 6 - 9 = 0\)
\(n^{2} - 2n - 15 = 0\)
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения, воспользовавшись теоремой Виета
\(\begin{cases}n_{1} \cdot n_{2} = -15 \\ n_{1} + n_{2} = 2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}n_{1} = 5 \\ n_{2} = -3\end{cases}\)
\(n = -3\) – не подходит, так как \(n\) должно быть числом натуральным
9 – член последовательности под номером 5
(\(a_{5} = 9\))
