Страница 88 номер 220, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \((3x + 1)^{4} > 625\)
\((3x + 1)^{4} = 0\)
\(3x + 1 = 0\)
\(3x = -1\)
\(x = -\dfrac{1}{3}\)

Функция \(y = (3x + 1)^{4}\) убывает при \(x \leqslant - \frac{1}{3}\) и возрастает при \(x \geqslant - \frac{1}{3}\)

Уравнение \((3x + 1)^{4} = 625\) имеет два действительных корня

\((3x + 1)^{4} = 625\)
\((3x + 1)^{4} = 5^{4}\) \[\left[ \begin{array}{l} 3x + 1 = 5 \\ 3x + 1 = -5 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = 5 - 1 \\ 3x = -5 - 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = 4 \\ 3x = -6 \end{array} \right.\] \(\begin{cases}x_{1} = \frac{4}{3} \\ x_{2} = -\frac{6}{3} = -2\end{cases}\)

Таким образом, неравенство имеет решения:

а) \(x \leqslant - \frac{1}{3} : x < -2\)

б) \(x \geqslant - \frac{1}{3} : x > \frac{4}{3}\)

Ответ: \(x < -2\); \(x > \frac{4}{3}\)

2) \((3x^{2} + 5x)^{5} \leqslant 32\)

Так как функция \(y = t^{5}\) возрастает и определена при всех действительных значениях \(t\), то \((3x^{2} + 5x)^{5} \leqslant 2^{5}\), если \(3x^{2} + 5x \leqslant 2\)

Разложим левую часть неравенства \(3x^{2} + 5x - 2 \leqslant 0\) на множители

\(3x^{2} + 5x - 2 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 25 + 24 = 49\)
\(\sqrt{D} = 7\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1} = \dfrac{-5 + 7}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
\(x_{2} = \dfrac{-5 - 7}{6} = -\dfrac{12}{6} = -2\)
\(3x^{2} + 5x - 2 = 3\left(x - \dfrac{1}{3}\right)(x + 2)\)

Тогда неравенство примет вид:

\(\left(x - \dfrac{1}{3}\right)\left(x + 2\right) \leqslant 0\)

Решим данное неравенство, воспользовавшись методом интервалов:

Левая часть неравенства обращается в 0 в точках \(\frac{1}{3}\) и \(-2\)

Отметим данные точки на числовой оси ОХ, которая разбивается указанными точками на 3 интервала, на каждом из которых \(f(x) = \left(x - \frac{1}{3}\right)\left(x + 2\right)\) сохраняет постоянный знак.

Найдем числовые промежутки, на которых \(f(x) \leqslant 0\), воспользовавшись следующей геометрической моделью:

\(-2 \leqslant x \leqslant \dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in [-2; \frac{1}{3}]\)