Проверь себя на странице 88, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова

1) \(y = \frac{8}{x - 1}\)

Правая часть равенства имеет смысл при:

\(x - 1 \neq 0\)
\(x \neq 1\)

Таким образом, функция определена при \(x \neq 1\)

2)

\(y = \sqrt{9 - x^{2}}\)

Так как мы имеем корень четной степени, то подкоренное выражение не может быть отрицательным

\(9 - x^{2} \geqslant 0\)
\(x^{2} \leqslant 9\)

Функция \(y = x^{2}\) возрастает при \(x \geqslant 0\) и убывает при \(x \leqslant 0\)

Уравнение \(x^{2} = 9\) имеет два действительных корня

\(x = \pm \sqrt{9}\), \(x_{1{,}2} = \pm 3\)

Таким образом, данное неравенство имеет решения:

а) при \(x \geqslant 0 : 0 \leqslant x \leqslant 3\)

б) при \(x \leqslant 0 : -3 \leqslant x \leqslant 0\)

Следовательно, функция определена при \(-3 \leqslant x \leqslant 3\)

1)

\(y = \sqrt{x}\)

О. О. Ф: \(x \geqslant 0\)

О. З. Ф: \(y \geqslant 0\)

Составим таблицу значений функции и построим ее график

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline\end{array}\]

а) \(y(2) \approx 1{,}4\)

б) если \(y(x) = 3\), то \(x = 9\)

в) \(y(x) > 0\) при \(x > 0\), \(y(x)\) не принимает отрицательные значения

г) функция возрастает по всей области определения

2) \(y = \frac{6}{x}\) – гипербола с ветвями, расположенными в \(I\) и \(III\) квадрантах

О. О. Ф: \(x \neq 0\)

О. З. Ф: \(y \neq 0\)

\(y(-x) = -\frac{6}{x} = -y \Rightarrow\) функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат

Составим таблицу значений функции и построим часть графика для \(x \geqslant 0\), а затем симметрично отразим его относительно начала координат и получим часть графика, которая соответствует отрицательным значениям \(x\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ \hline y & 6 & 3 & 2 & \frac{3}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ \hline\end{array}\]

а) \(y(2) = 3\)

б) если \(y(x) = 3\), то \(x = 2\)

в) \(y(x) > 0\) при \(x > 0\), \(y(x) < 0\) при \(x < 0\)

г) функция убывает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\)

3) \(y = -\frac{5}{x}\) – гипербола с ветвями, расположенными в \(II\) и \(IV\) квадрантах

О. О. Ф: \(x \neq 0\)

О. З. Ф: \(y \neq 0\)

\(y(-x) = -\frac{5}{(-x)} = \frac{5}{x} = -y \Rightarrow\) функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат

Составим таблицу значений функции и построим часть графика для \(x \geqslant 0\), а затем симметрично отразим его относительно начала координат и получим часть графика, которая соответствует отрицательным значениям \(x\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & \frac{1}{2} & 2 & 5 & 10 \\ \hline y & -10 & -2{,}5 & -1 & -\frac{1}{2} \\ \hline\end{array}\]

а) \(y(2) = -2{,}5\)

б) если \(y(x) = 3\), то \(x = -\frac{5}{3} \approx -1{,}7\)

в) \(y(x) > 0\) при \(x < 0\), \(y(x) < 0\) при \(x > 0\)

г) функция возрастает на промежутках \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\)

4) \(y = x^{3}\)

О. О. Ф: \(x\) – любое действительное число, то есть \(x \in (-\infty; +\infty)\)

О. З. Ф: \(y\) – любое действительное число, то есть \(y \in (-\infty; +\infty)\)

\(y(-x) = (-x)^{3} = -x^{3} = -y \Rightarrow\) функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат

Составим таблицу значений функции и построим часть графика для \(x \geqslant 0\), а затем симметрично отразим его относительно начала координат и получим часть графика, которая соответствует отрицательным значениям \(x\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 1 & 8 & 27 & 64 \\ \hline\end{array}\]

а) \(y(2) = 8\)

б) если \(y(x) = 3\), то \(x \approx 1{,}4\)

в) \(y(x) > 0\) при \(x > 0\), \(y(x) < 0\) при \(x < 0\)

г) функция возрастает по всей области определения, то есть \(x \in (-\infty; +\infty)\)

1) \(y = 3x^{6} + x^{2}\)

Область определения — все действительные числа

\(y(-x) = 3(-x)^{6} + (-x)^{2} = 3x^{6} + x^{2} = y \Rightarrow\) функция четная

2) \(y = 8x^{5} - x\)

Область определения — все действительные числа

\(y(-x) = 8(-x)^{5} - (-x) = -8x^{5} + x = -(8x^{5} - x) = -y \Rightarrow\) функция нечетная

1)

\(\sqrt{x - 3} = 5\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\(x - 3 = 25\)
\(x = 25 + 3\)
\(x = 28\)

Проверка:

\(\sqrt{28 - 3} = 5\)
\(\sqrt{25} = 5\)
\(5 = 5\) – верно

Ответ: \(x = 28\)

2)

\(\sqrt{3 - x - x^{2}} = x\)

Возведем в квадрат обе части уравнения

\(3 - x - x^{2} = x^{2}\)
\(2x^{2} + x - 3 = 0\)
\(D = b^{2} - 4ac = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25\)
\(\sqrt{D} = 5\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_{1} = \dfrac{-1 + 5}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\)
\(x_{2} = \dfrac{-1 - 5}{4} = -\dfrac{6}{4} = -\dfrac{3}{2} = -1{,}5\)

Проверка:

а)

\(\sqrt{3 - 1 - 1} = 1\)
\(\sqrt{3 - 2} = 1\)
\(1 = 1\) – верно

б) \(\sqrt{3 + 1{,}5 - \left(-1{,}5\right)^{2}} = -1{,}5\) – неверно, так как арифметический корень не может быть числом отрицательным, а значит \(x = -1{,}5\) – посторонний корень

Ответ: \(x = 1\)